NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  nchoicelem2 GIF version

Theorem nchoicelem2 6290
Description: Lemma for nchoice 6308. A finite cardinal is not two more than its T-raising. (Contributed by SF, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nchoicelem2 (A Nn → ¬ A = ( Tc A +c 2c))

Proof of Theorem nchoicelem2
Dummy variable n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncdiv3 6277 . 2 (A Nnn Nn (A = ((n +c n) +c n) A = (((n +c n) +c n) +c 1c) A = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
2 id 19 . . . . . . 7 (n Nnn Nn )
3 nntccl 6170 . . . . . . 7 (n NnTc n Nn )
4 nnc3n3p2 6279 . . . . . . 7 ((n Nn Tc n Nn ) → ¬ ((n +c n) +c n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 2c))
52, 3, 4syl2anc 642 . . . . . 6 (n Nn → ¬ ((n +c n) +c n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 2c))
6 nncaddccl 4419 . . . . . . . . . . . 12 ((n Nn n Nn ) → (n +c n) Nn )
76anidms 626 . . . . . . . . . . 11 (n Nn → (n +c n) Nn )
8 nnnc 6146 . . . . . . . . . . 11 ((n +c n) Nn → (n +c n) NC )
97, 8syl 15 . . . . . . . . . 10 (n Nn → (n +c n) NC )
10 nnnc 6146 . . . . . . . . . 10 (n Nnn NC )
11 tcdi 6164 . . . . . . . . . 10 (((n +c n) NC n NC ) → Tc ((n +c n) +c n) = ( Tc (n +c n) +c Tc n))
129, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . . . 9 (n NnTc ((n +c n) +c n) = ( Tc (n +c n) +c Tc n))
13 tcdi 6164 . . . . . . . . . . 11 ((n NC n NC ) → Tc (n +c n) = ( Tc n +c Tc n))
1410, 10, 13syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 (n NnTc (n +c n) = ( Tc n +c Tc n))
1514addceq1d 4389 . . . . . . . . 9 (n Nn → ( Tc (n +c n) +c Tc n) = (( Tc n +c Tc n) +c Tc n))
1612, 15eqtrd 2385 . . . . . . . 8 (n NnTc ((n +c n) +c n) = (( Tc n +c Tc n) +c Tc n))
1716addceq1d 4389 . . . . . . 7 (n Nn → ( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 2c))
1817eqeq2d 2364 . . . . . 6 (n Nn → (((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c) ↔ ((n +c n) +c n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 2c)))
195, 18mtbird 292 . . . . 5 (n Nn → ¬ ((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c))
20 id 19 . . . . . . 7 (A = ((n +c n) +c n) → A = ((n +c n) +c n))
21 tceq 6158 . . . . . . . 8 (A = ((n +c n) +c n) → Tc A = Tc ((n +c n) +c n))
2221addceq1d 4389 . . . . . . 7 (A = ((n +c n) +c n) → ( Tc A +c 2c) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c))
2320, 22eqeq12d 2367 . . . . . 6 (A = ((n +c n) +c n) → (A = ( Tc A +c 2c) ↔ ((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c)))
2423notbid 285 . . . . 5 (A = ((n +c n) +c n) → (¬ A = ( Tc A +c 2c) ↔ ¬ ((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c)))
2519, 24syl5ibrcom 213 . . . 4 (n Nn → (A = ((n +c n) +c n) → ¬ A = ( Tc A +c 2c)))
26 nncaddccl 4419 . . . . . . . . . 10 (((n +c n) Nn n Nn ) → ((n +c n) +c n) Nn )
277, 2, 26syl2anc 642 . . . . . . . . 9 (n Nn → ((n +c n) +c n) Nn )
28 nntccl 6170 . . . . . . . . . . 11 (((n +c n) +c n) NnTc ((n +c n) +c n) Nn )
2927, 28syl 15 . . . . . . . . . 10 (n NnTc ((n +c n) +c n) Nn )
30 2nnc 6167 . . . . . . . . . 10 2c Nn
31 nncaddccl 4419 . . . . . . . . . 10 (( Tc ((n +c n) +c n) Nn 2c Nn ) → ( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c) Nn )
3229, 30, 31sylancl 643 . . . . . . . . 9 (n Nn → ( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c) Nn )
33 suc11nnc 4558 . . . . . . . . 9 ((((n +c n) +c n) Nn ( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c) Nn ) → ((((n +c n) +c n) +c 1c) = (( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) ↔ ((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c)))
3427, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . 8 (n Nn → ((((n +c n) +c n) +c 1c) = (( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) ↔ ((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c)))
3519, 34mtbird 292 . . . . . . 7 (n Nn → ¬ (((n +c n) +c n) +c 1c) = (( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c))
36 addc32 4416 . . . . . . . . 9 (( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 1c) +c 2c) = (( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c) +c Tc 1c)
37 tc1c 6165 . . . . . . . . . 10 Tc 1c = 1c
3837addceq2i 4387 . . . . . . . . 9 (( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c) +c Tc 1c) = (( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c)
3936, 38eqtri 2373 . . . . . . . 8 (( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 1c) +c 2c) = (( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c)
4039eqeq2i 2363 . . . . . . 7 ((((n +c n) +c n) +c 1c) = (( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 1c) +c 2c) ↔ (((n +c n) +c n) +c 1c) = (( Tc ((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c))
4135, 40sylnibr 296 . . . . . 6 (n Nn → ¬ (((n +c n) +c n) +c 1c) = (( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 1c) +c 2c))
42 nnnc 6146 . . . . . . . . . 10 (((n +c n) +c n) Nn → ((n +c n) +c n) NC )
4327, 42syl 15 . . . . . . . . 9 (n Nn → ((n +c n) +c n) NC )
44 1cnc 6139 . . . . . . . . 9 1c NC
45 tcdi 6164 . . . . . . . . 9 ((((n +c n) +c n) NC 1c NC ) → Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 1c))
4643, 44, 45sylancl 643 . . . . . . . 8 (n NnTc (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 1c))
4746addceq1d 4389 . . . . . . 7 (n Nn → ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 2c) = (( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 1c) +c 2c))
4847eqeq2d 2364 . . . . . 6 (n Nn → ((((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 2c) ↔ (((n +c n) +c n) +c 1c) = (( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 1c) +c 2c)))
4941, 48mtbird 292 . . . . 5 (n Nn → ¬ (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 2c))
50 id 19 . . . . . . 7 (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → A = (((n +c n) +c n) +c 1c))
51 tceq 6158 . . . . . . . 8 (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → Tc A = Tc (((n +c n) +c n) +c 1c))
5251addceq1d 4389 . . . . . . 7 (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → ( Tc A +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 2c))
5350, 52eqeq12d 2367 . . . . . 6 (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → (A = ( Tc A +c 2c) ↔ (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 2c)))
5453notbid 285 . . . . 5 (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → (¬ A = ( Tc A +c 2c) ↔ ¬ (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 2c)))
5549, 54syl5ibrcom 213 . . . 4 (n Nn → (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → ¬ A = ( Tc A +c 2c)))
56 peano2 4403 . . . . . . . . 9 (n Nn → (n +c 1c) Nn )
57 nntccl 6170 . . . . . . . . 9 ((n +c 1c) NnTc (n +c 1c) Nn )
5856, 57syl 15 . . . . . . . 8 (n NnTc (n +c 1c) Nn )
59 nnc3p1n3p2 6280 . . . . . . . 8 (( Tc (n +c 1c) Nn n Nn ) → ¬ ((( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c))
6058, 2, 59syl2anc 642 . . . . . . 7 (n Nn → ¬ ((( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c))
61 eqcom 2355 . . . . . . 7 ((((n +c n) +c n) +c 2c) = ((( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) +c 1c) ↔ ((( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c))
6260, 61sylnibr 296 . . . . . 6 (n Nn → ¬ (((n +c n) +c n) +c 2c) = ((( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) +c 1c))
63 addcass 4415 . . . . . . . . 9 ((((( Tc n +c 1c) +c ( Tc n +c 1c)) +c Tc n) +c 1c) +c 1c) = (((( Tc n +c 1c) +c ( Tc n +c 1c)) +c Tc n) +c (1c +c 1c))
64 addcass 4415 . . . . . . . . . 10 (((( Tc n +c 1c) +c ( Tc n +c 1c)) +c Tc n) +c 1c) = ((( Tc n +c 1c) +c ( Tc n +c 1c)) +c ( Tc n +c 1c))
6564addceq1i 4386 . . . . . . . . 9 ((((( Tc n +c 1c) +c ( Tc n +c 1c)) +c Tc n) +c 1c) +c 1c) = (((( Tc n +c 1c) +c ( Tc n +c 1c)) +c ( Tc n +c 1c)) +c 1c)
66 1p1e2c 6155 . . . . . . . . . . . . . 14 (1c +c 1c) = 2c
6766addceq2i 4387 . . . . . . . . . . . . 13 (( Tc n +c Tc n) +c (1c +c 1c)) = (( Tc n +c Tc n) +c 2c)
68 addc4 4417 . . . . . . . . . . . . 13 (( Tc n +c 1c) +c ( Tc n +c 1c)) = (( Tc n +c Tc n) +c (1c +c 1c))
69 tc2c 6166 . . . . . . . . . . . . . 14 Tc 2c = 2c
7069addceq2i 4387 . . . . . . . . . . . . 13 (( Tc n +c Tc n) +c Tc 2c) = (( Tc n +c Tc n) +c 2c)
7167, 68, 703eqtr4i 2383 . . . . . . . . . . . 12 (( Tc n +c 1c) +c ( Tc n +c 1c)) = (( Tc n +c Tc n) +c Tc 2c)
7271addceq1i 4386 . . . . . . . . . . 11 ((( Tc n +c 1c) +c ( Tc n +c 1c)) +c Tc n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc 2c) +c Tc n)
73 addc32 4416 . . . . . . . . . . 11 ((( Tc n +c Tc n) +c Tc 2c) +c Tc n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c Tc 2c)
7472, 73eqtri 2373 . . . . . . . . . 10 ((( Tc n +c 1c) +c ( Tc n +c 1c)) +c Tc n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c Tc 2c)
7574, 66addceq12i 4388 . . . . . . . . 9 (((( Tc n +c 1c) +c ( Tc n +c 1c)) +c Tc n) +c (1c +c 1c)) = (((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c Tc 2c) +c 2c)
7663, 65, 753eqtr3ri 2382 . . . . . . . 8 (((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c Tc 2c) +c 2c) = (((( Tc n +c 1c) +c ( Tc n +c 1c)) +c ( Tc n +c 1c)) +c 1c)
77 2nc 6168 . . . . . . . . . . 11 2c NC
78 tcdi 6164 . . . . . . . . . . 11 ((((n +c n) +c n) NC 2c NC ) → Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 2c))
7943, 77, 78sylancl 643 . . . . . . . . . 10 (n NnTc (((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 2c))
8016addceq1d 4389 . . . . . . . . . 10 (n Nn → ( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 2c) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c Tc 2c))
8179, 80eqtrd 2385 . . . . . . . . 9 (n NnTc (((n +c n) +c n) +c 2c) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c Tc 2c))
8281addceq1d 4389 . . . . . . . 8 (n Nn → ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 2c) = (((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c Tc 2c) +c 2c))
83 tcdi 6164 . . . . . . . . . . . . 13 ((n NC 1c NC ) → Tc (n +c 1c) = ( Tc n +c Tc 1c))
8410, 44, 83sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12 (n NnTc (n +c 1c) = ( Tc n +c Tc 1c))
8537addceq2i 4387 . . . . . . . . . . . 12 ( Tc n +c Tc 1c) = ( Tc n +c 1c)
8684, 85syl6eq 2401 . . . . . . . . . . 11 (n NnTc (n +c 1c) = ( Tc n +c 1c))
8786, 86addceq12d 4391 . . . . . . . . . 10 (n Nn → ( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) = (( Tc n +c 1c) +c ( Tc n +c 1c)))
8887, 86addceq12d 4391 . . . . . . . . 9 (n Nn → (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) = ((( Tc n +c 1c) +c ( Tc n +c 1c)) +c ( Tc n +c 1c)))
8988addceq1d 4389 . . . . . . . 8 (n Nn → ((( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) +c 1c) = (((( Tc n +c 1c) +c ( Tc n +c 1c)) +c ( Tc n +c 1c)) +c 1c))
9076, 82, 893eqtr4a 2411 . . . . . . 7 (n Nn → ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 2c) = ((( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) +c 1c))
9190eqeq2d 2364 . . . . . 6 (n Nn → ((((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 2c) ↔ (((n +c n) +c n) +c 2c) = ((( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) +c 1c)))
9262, 91mtbird 292 . . . . 5 (n Nn → ¬ (((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 2c))
93 id 19 . . . . . . 7 (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → A = (((n +c n) +c n) +c 2c))
94 tceq 6158 . . . . . . . 8 (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → Tc A = Tc (((n +c n) +c n) +c 2c))
9594addceq1d 4389 . . . . . . 7 (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → ( Tc A +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 2c))
9693, 95eqeq12d 2367 . . . . . 6 (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → (A = ( Tc A +c 2c) ↔ (((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 2c)))
9796notbid 285 . . . . 5 (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → (¬ A = ( Tc A +c 2c) ↔ ¬ (((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 2c)))
9892, 97syl5ibrcom 213 . . . 4 (n Nn → (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → ¬ A = ( Tc A +c 2c)))
9925, 55, 983jaod 1246 . . 3 (n Nn → ((A = ((n +c n) +c n) A = (((n +c n) +c n) +c 1c) A = (((n +c n) +c n) +c 2c)) → ¬ A = ( Tc A +c 2c)))
10099rexlimiv 2732 . 2 (n Nn (A = ((n +c n) +c n) A = (((n +c n) +c n) +c 1c) A = (((n +c n) +c n) +c 2c)) → ¬ A = ( Tc A +c 2c))
1011, 100syl 15 1 (A Nn → ¬ A = ( Tc A +c 2c))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 176   w3o 933   = wceq 1642   wcel 1710  wrex 2615  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373   +c cplc 4375   NC cncs 6088   Tc ctc 6093  2cc2c 6094
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-cup 5742  df-disj 5744  df-addcfn 5746  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-lec 6099  df-nc 6101  df-tc 6103  df-2c 6104
This theorem is referenced by:  nchoice  6308
  Copyright terms: Public domain W3C validator