New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  ncssfin GIF version

Theorem ncssfin 6151
 Description: A cardinal is finite iff it is a subset of Fin. (Contributed by SF, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ncssfin (A NC → (A NnA Fin ))

Proof of Theorem ncssfin
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 3919 . . 3 (A NnA Nn )
2 df-fin 4380 . . 3 Fin = Nn
31, 2syl6sseqr 3318 . 2 (A NnA Fin )
4 dfss2 3262 . . . 4 (A Finx(x Ax Fin ))
5 elfin 4420 . . . . . . 7 (x Finy Nn x y)
65imbi2i 303 . . . . . 6 ((x Ax Fin ) ↔ (x Ay Nn x y))
7 peano1 4402 . . . . . . 7 0c Nn
8 ne0i 3556 . . . . . . 7 (0c NnNn)
9 r19.37zv 3646 . . . . . . 7 ( Nn → (y Nn (x Ax y) ↔ (x Ay Nn x y)))
107, 8, 9mp2b 9 . . . . . 6 (y Nn (x Ax y) ↔ (x Ay Nn x y))
116, 10bitr4i 243 . . . . 5 ((x Ax Fin ) ↔ y Nn (x Ax y))
1211albii 1566 . . . 4 (x(x Ax Fin ) ↔ xy Nn (x Ax y))
134, 12bitri 240 . . 3 (A Finxy Nn (x Ax y))
14 nulnnc 6118 . . . . . . 7 ¬ NC
15 eleq1 2413 . . . . . . 7 (A = → (A NC NC ))
1614, 15mtbiri 294 . . . . . 6 (A = → ¬ A NC )
1716necon2ai 2561 . . . . 5 (A NCA)
18 n0 3559 . . . . 5 (Ax x A)
1917, 18sylib 188 . . . 4 (A NCx x A)
20 19.29r 1597 . . . . 5 ((x x A xy Nn (x Ax y)) → x(x A y Nn (x Ax y)))
21 pm2.27 35 . . . . . . . . . . 11 (x A → ((x Ax y) → x y))
2221adantl 452 . . . . . . . . . 10 (((A NC y Nn ) x A) → ((x Ax y) → x y))
23 nnnc 6146 . . . . . . . . . . . . 13 (y Nny NC )
24 nceleq 6149 . . . . . . . . . . . . 13 (((A NC y NC ) (x A x y)) → A = y)
2523, 24sylanl2 632 . . . . . . . . . . . 12 (((A NC y Nn ) (x A x y)) → A = y)
26 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((A NC y Nn ) (x A x y)) → y Nn )
2725, 26eqeltrd 2427 . . . . . . . . . . 11 (((A NC y Nn ) (x A x y)) → A Nn )
2827expr 598 . . . . . . . . . 10 (((A NC y Nn ) x A) → (x yA Nn ))
2922, 28syld 40 . . . . . . . . 9 (((A NC y Nn ) x A) → ((x Ax y) → A Nn ))
3029an32s 779 . . . . . . . 8 (((A NC x A) y Nn ) → ((x Ax y) → A Nn ))
3130rexlimdva 2738 . . . . . . 7 ((A NC x A) → (y Nn (x Ax y) → A Nn ))
3231expimpd 586 . . . . . 6 (A NC → ((x A y Nn (x Ax y)) → A Nn ))
3332exlimdv 1636 . . . . 5 (A NC → (x(x A y Nn (x Ax y)) → A Nn ))
3420, 33syl5 28 . . . 4 (A NC → ((x x A xy Nn (x Ax y)) → A Nn ))
3519, 34mpand 656 . . 3 (A NC → (xy Nn (x Ax y) → A Nn ))
3613, 35syl5bi 208 . 2 (A NC → (A FinA Nn ))
373, 36impbid2 195 1 (A NC → (A NnA Fin ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615   ⊆ wss 3257  ∅c0 3550  ∪cuni 3891   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   Fin cfin 4376   NC cncs 6088 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-nc 6101 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator