New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  nntccl GIF version

Theorem nntccl 6170
 Description: Cardinal T is closed under the natural numbers. (Contributed by SF, 3-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nntccl (A NnTc A Nn )

Proof of Theorem nntccl
Dummy variables a m n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nulnnn 4556 . . . . 5 ¬ Nn
2 eleq1 2413 . . . . 5 (A = → (A Nn Nn ))
31, 2mtbiri 294 . . . 4 (A = → ¬ A Nn )
43necon2ai 2561 . . 3 (A NnA)
5 n0 3559 . . 3 (An n A)
64, 5sylib 188 . 2 (A Nnn n A)
7 eleq2 2414 . . . . . . . . 9 (a = A → (n an A))
87rspcev 2955 . . . . . . . 8 ((A Nn n A) → a Nn n a)
9 elfin 4420 . . . . . . . 8 (n Fina Nn n a)
108, 9sylibr 203 . . . . . . 7 ((A Nn n A) → n Fin )
11 pw1fin 6169 . . . . . . 7 (n Fin1n Fin )
1210, 11syl 15 . . . . . 6 ((A Nn n A) → 1n Fin )
13 elfin 4420 . . . . . 6 (1n Finm Nn 1n m)
1412, 13sylib 188 . . . . 5 ((A Nn n A) → m Nn 1n m)
15 nnnc 6146 . . . . . . . . . . . 12 (A NnA NC )
16 tccl 6160 . . . . . . . . . . . 12 (A NCTc A NC )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . . 11 (A NnTc A NC )
1817ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10 (((A Nn m Nn ) (n A 1n m)) → Tc A NC )
19 nnnc 6146 . . . . . . . . . . 11 (m Nnm NC )
2019ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10 (((A Nn m Nn ) (n A 1n m)) → m NC )
2115ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11 (((A Nn m Nn ) (n A 1n m)) → A NC )
22 simprl 732 . . . . . . . . . . 11 (((A Nn m Nn ) (n A 1n m)) → n A)
23 pw1eltc 6162 . . . . . . . . . . 11 ((A NC n A) → 1n Tc A)
2421, 22, 23syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 (((A Nn m Nn ) (n A 1n m)) → 1n Tc A)
25 simprr 733 . . . . . . . . . 10 (((A Nn m Nn ) (n A 1n m)) → 1n m)
26 nceleq 6149 . . . . . . . . . 10 ((( Tc A NC m NC ) (1n Tc A 1n m)) → Tc A = m)
2718, 20, 24, 25, 26syl22anc 1183 . . . . . . . . 9 (((A Nn m Nn ) (n A 1n m)) → Tc A = m)
28 simplr 731 . . . . . . . . 9 (((A Nn m Nn ) (n A 1n m)) → m Nn )
2927, 28eqeltrd 2427 . . . . . . . 8 (((A Nn m Nn ) (n A 1n m)) → Tc A Nn )
3029expr 598 . . . . . . 7 (((A Nn m Nn ) n A) → (1n mTc A Nn ))
3130an32s 779 . . . . . 6 (((A Nn n A) m Nn ) → (1n mTc A Nn ))
3231rexlimdva 2738 . . . . 5 ((A Nn n A) → (m Nn 1n mTc A Nn ))
3314, 32mpd 14 . . . 4 ((A Nn n A) → Tc A Nn )
3433ex 423 . . 3 (A Nn → (n ATc A Nn ))
3534exlimdv 1636 . 2 (A Nn → (n n ATc A Nn ))
366, 35mpd 14 1 (A NnTc A Nn )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  ∅c0 3550  ℘1cpw1 4135   Nn cnnc 4373   Fin cfin 4376   NC cncs 6088   Tc ctc 6093 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-nc 6101  df-tc 6103 This theorem is referenced by:  nmembers1  6271  nchoicelem1  6289  nchoicelem2  6290
 Copyright terms: Public domain W3C validator