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Theorem oddtfin 4518
 Description: If M is odd , then so is Tfin M. Theorem X.1.38 of [Rosser] p. 530. (Contributed by SF, 26-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
oddtfin (M OddfinTfin M Oddfin )

Proof of Theorem oddtfin
Dummy variables n m x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2359 . . . . . 6 (x = M → (x = ((n +c n) +c 1c) ↔ M = ((n +c n) +c 1c)))
21rexbidv 2635 . . . . 5 (x = M → (n Nn x = ((n +c n) +c 1c) ↔ n Nn M = ((n +c n) +c 1c)))
3 neeq1 2524 . . . . 5 (x = M → (xM))
42, 3anbi12d 691 . . . 4 (x = M → ((n Nn x = ((n +c n) +c 1c) x) ↔ (n Nn M = ((n +c n) +c 1c) M)))
5 df-oddfin 4445 . . . 4 Oddfin = {x (n Nn x = ((n +c n) +c 1c) x)}
64, 5elab2g 2987 . . 3 (M Oddfin → (M Oddfin ↔ (n Nn M = ((n +c n) +c 1c) M)))
76ibi 232 . 2 (M Oddfin → (n Nn M = ((n +c n) +c 1c) M))
8 addceq2 4384 . . . . . . . . . . . . . 14 (n = → (n +c n) = (n +c ))
9 addcnul1 4452 . . . . . . . . . . . . . 14 (n +c ) =
108, 9syl6eq 2401 . . . . . . . . . . . . 13 (n = → (n +c n) = )
11 addceq1 4383 . . . . . . . . . . . . 13 ((n +c n) = → ((n +c n) +c 1c) = ( +c 1c))
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . . . 12 (n = → ((n +c n) +c 1c) = ( +c 1c))
13 addccom 4406 . . . . . . . . . . . . 13 ( +c 1c) = (1c +c )
14 addcnul1 4452 . . . . . . . . . . . . 13 (1c +c ) =
1513, 14eqtri 2373 . . . . . . . . . . . 12 ( +c 1c) =
1612, 15syl6eq 2401 . . . . . . . . . . 11 (n = → ((n +c n) +c 1c) = )
1716necon3i 2555 . . . . . . . . . 10 (((n +c n) +c 1c) ≠ n)
18 tfinprop 4489 . . . . . . . . . . 11 ((n Nn n) → ( Tfin n Nn x n 1x Tfin n))
1918simpld 445 . . . . . . . . . 10 ((n Nn n) → Tfin n Nn )
2017, 19sylan2 460 . . . . . . . . 9 ((n Nn ((n +c n) +c 1c) ≠ ) → Tfin n Nn )
21 nncaddccl 4419 . . . . . . . . . . . 12 ((n Nn n Nn ) → (n +c n) Nn )
2221anidms 626 . . . . . . . . . . 11 (n Nn → (n +c n) Nn )
23 1cnnc 4408 . . . . . . . . . . . 12 1c Nn
24 tfindi 4496 . . . . . . . . . . . 12 (((n +c n) Nn 1c Nn ((n +c n) +c 1c) ≠ ) → Tfin ((n +c n) +c 1c) = ( Tfin (n +c n) +c Tfin 1c))
2523, 24mp3an2 1265 . . . . . . . . . . 11 (((n +c n) Nn ((n +c n) +c 1c) ≠ ) → Tfin ((n +c n) +c 1c) = ( Tfin (n +c n) +c Tfin 1c))
2622, 25sylan 457 . . . . . . . . . 10 ((n Nn ((n +c n) +c 1c) ≠ ) → Tfin ((n +c n) +c 1c) = ( Tfin (n +c n) +c Tfin 1c))
27 addcnnul 4453 . . . . . . . . . . . . 13 (((n +c n) +c 1c) ≠ → ((n +c n) ≠ 1c))
2827simpld 445 . . . . . . . . . . . 12 (((n +c n) +c 1c) ≠ → (n +c n) ≠ )
29 tfindi 4496 . . . . . . . . . . . . 13 ((n Nn n Nn (n +c n) ≠ ) → Tfin (n +c n) = ( Tfin n +c Tfin n))
30293anidm12 1239 . . . . . . . . . . . 12 ((n Nn (n +c n) ≠ ) → Tfin (n +c n) = ( Tfin n +c Tfin n))
3128, 30sylan2 460 . . . . . . . . . . 11 ((n Nn ((n +c n) +c 1c) ≠ ) → Tfin (n +c n) = ( Tfin n +c Tfin n))
32 tfin1c 4499 . . . . . . . . . . . 12 Tfin 1c = 1c
33 addceq12 4385 . . . . . . . . . . . 12 (( Tfin (n +c n) = ( Tfin n +c Tfin n) Tfin 1c = 1c) → ( Tfin (n +c n) +c Tfin 1c) = (( Tfin n +c Tfin n) +c 1c))
3432, 33mpan2 652 . . . . . . . . . . 11 ( Tfin (n +c n) = ( Tfin n +c Tfin n) → ( Tfin (n +c n) +c Tfin 1c) = (( Tfin n +c Tfin n) +c 1c))
3531, 34syl 15 . . . . . . . . . 10 ((n Nn ((n +c n) +c 1c) ≠ ) → ( Tfin (n +c n) +c Tfin 1c) = (( Tfin n +c Tfin n) +c 1c))
3626, 35eqtrd 2385 . . . . . . . . 9 ((n Nn ((n +c n) +c 1c) ≠ ) → Tfin ((n +c n) +c 1c) = (( Tfin n +c Tfin n) +c 1c))
37 addceq12 4385 . . . . . . . . . . . . 13 ((m = Tfin n m = Tfin n) → (m +c m) = ( Tfin n +c Tfin n))
3837anidms 626 . . . . . . . . . . . 12 (m = Tfin n → (m +c m) = ( Tfin n +c Tfin n))
39 addceq1 4383 . . . . . . . . . . . 12 ((m +c m) = ( Tfin n +c Tfin n) → ((m +c m) +c 1c) = (( Tfin n +c Tfin n) +c 1c))
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11 (m = Tfin n → ((m +c m) +c 1c) = (( Tfin n +c Tfin n) +c 1c))
4140eqeq2d 2364 . . . . . . . . . 10 (m = Tfin n → ( Tfin ((n +c n) +c 1c) = ((m +c m) +c 1c) ↔ Tfin ((n +c n) +c 1c) = (( Tfin n +c Tfin n) +c 1c)))
4241rspcev 2955 . . . . . . . . 9 (( Tfin n Nn Tfin ((n +c n) +c 1c) = (( Tfin n +c Tfin n) +c 1c)) → m Nn Tfin ((n +c n) +c 1c) = ((m +c m) +c 1c))
4320, 36, 42syl2anc 642 . . . . . . . 8 ((n Nn ((n +c n) +c 1c) ≠ ) → m Nn Tfin ((n +c n) +c 1c) = ((m +c m) +c 1c))
44 peano2 4403 . . . . . . . . . 10 ((n +c n) Nn → ((n +c n) +c 1c) Nn )
4522, 44syl 15 . . . . . . . . 9 (n Nn → ((n +c n) +c 1c) Nn )
46 tfinnnul 4490 . . . . . . . . 9 ((((n +c n) +c 1c) Nn ((n +c n) +c 1c) ≠ ) → Tfin ((n +c n) +c 1c) ≠ )
4745, 46sylan 457 . . . . . . . 8 ((n Nn ((n +c n) +c 1c) ≠ ) → Tfin ((n +c n) +c 1c) ≠ )
4843, 47jca 518 . . . . . . 7 ((n Nn ((n +c n) +c 1c) ≠ ) → (m Nn Tfin ((n +c n) +c 1c) = ((m +c m) +c 1c) Tfin ((n +c n) +c 1c) ≠ ))
49 tfinex 4485 . . . . . . . 8 Tfin ((n +c n) +c 1c) V
50 eqeq1 2359 . . . . . . . . . 10 (x = Tfin ((n +c n) +c 1c) → (x = ((m +c m) +c 1c) ↔ Tfin ((n +c n) +c 1c) = ((m +c m) +c 1c)))
5150rexbidv 2635 . . . . . . . . 9 (x = Tfin ((n +c n) +c 1c) → (m Nn x = ((m +c m) +c 1c) ↔ m Nn Tfin ((n +c n) +c 1c) = ((m +c m) +c 1c)))
52 neeq1 2524 . . . . . . . . 9 (x = Tfin ((n +c n) +c 1c) → (xTfin ((n +c n) +c 1c) ≠ ))
5351, 52anbi12d 691 . . . . . . . 8 (x = Tfin ((n +c n) +c 1c) → ((m Nn x = ((m +c m) +c 1c) x) ↔ (m Nn Tfin ((n +c n) +c 1c) = ((m +c m) +c 1c) Tfin ((n +c n) +c 1c) ≠ )))
54 df-oddfin 4445 . . . . . . . 8 Oddfin = {x (m Nn x = ((m +c m) +c 1c) x)}
5549, 53, 54elab2 2988 . . . . . . 7 ( Tfin ((n +c n) +c 1c) Oddfin ↔ (m Nn Tfin ((n +c n) +c 1c) = ((m +c m) +c 1c) Tfin ((n +c n) +c 1c) ≠ ))
5648, 55sylibr 203 . . . . . 6 ((n Nn ((n +c n) +c 1c) ≠ ) → Tfin ((n +c n) +c 1c) Oddfin )
5756ex 423 . . . . 5 (n Nn → (((n +c n) +c 1c) ≠ Tfin ((n +c n) +c 1c) Oddfin ))
58 neeq1 2524 . . . . . . . 8 (M = ((n +c n) +c 1c) → (M ↔ ((n +c n) +c 1c) ≠ ))
59 tfineq 4488 . . . . . . . . 9 (M = ((n +c n) +c 1c) → Tfin M = Tfin ((n +c n) +c 1c))
6059eleq1d 2419 . . . . . . . 8 (M = ((n +c n) +c 1c) → ( Tfin M OddfinTfin ((n +c n) +c 1c) Oddfin ))
6158, 60imbi12d 311 . . . . . . 7 (M = ((n +c n) +c 1c) → ((MTfin M Oddfin ) ↔ (((n +c n) +c 1c) ≠ Tfin ((n +c n) +c 1c) Oddfin )))
6261biimprd 214 . . . . . 6 (M = ((n +c n) +c 1c) → ((((n +c n) +c 1c) ≠ Tfin ((n +c n) +c 1c) Oddfin ) → (MTfin M Oddfin )))
6362com12 27 . . . . 5 ((((n +c n) +c 1c) ≠ Tfin ((n +c n) +c 1c) Oddfin ) → (M = ((n +c n) +c 1c) → (MTfin M Oddfin )))
6457, 63syl 15 . . . 4 (n Nn → (M = ((n +c n) +c 1c) → (MTfin M Oddfin )))
6564rexlimiv 2732 . . 3 (n Nn M = ((n +c n) +c 1c) → (MTfin M Oddfin ))
6665imp 418 . 2 ((n Nn M = ((n +c n) +c 1c) M) → Tfin M Oddfin )
677, 66syl 15 1 (M OddfinTfin M Oddfin )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  ∅c0 3550  1cc1c 4134  ℘1cpw1 4135   Nn cnnc 4373   +c cplc 4375   Tfin ctfin 4435   Oddfin coddfin 4437 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-tfin 4443  df-oddfin 4445 This theorem is referenced by:  vinf  4555
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