New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  opbrop GIF version

Theorem opbrop 4841
 Description: Ordered pair membership in a relation. Special case. (Contributed by NM, 5-Aug-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
opbrop.1 (((z = A w = B) (v = C u = D)) → (φψ))
opbrop.2 R = {x, y ((x (S × S) y (S × S)) zwvu((x = z, w y = v, u) φ))}
Assertion
Ref Expression
opbrop (((A S B S) (C S D S)) → (A, BRC, Dψ))
Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,u,A   x,B,y,z,w,v,u   x,C,y,z,w,v,u   x,D,y,z,w,v,u   x,S,y,z,w,v,u   φ,x,y   ψ,z,w,v,u
Allowed substitution hints:   φ(z,w,v,u)   ψ(x,y)   R(x,y,z,w,v,u)

Proof of Theorem opbrop
StepHypRef Expression
1 opbrop.1 . . . 4 (((z = A w = B) (v = C u = D)) → (φψ))
21copsex4g 4610 . . 3 (((A S B S) (C S D S)) → (zwvu((A, B = z, w C, D = v, u) φ) ↔ ψ))
32anbi2d 684 . 2 (((A S B S) (C S D S)) → (((A, B (S × S) C, D (S × S)) zwvu((A, B = z, w C, D = v, u) φ)) ↔ ((A, B (S × S) C, D (S × S)) ψ)))
4 opexg 4587 . . 3 ((A S B S) → A, B V)
5 opexg 4587 . . 3 ((C S D S) → C, D V)
6 eleq1 2413 . . . . . 6 (x = A, B → (x (S × S) ↔ A, B (S × S)))
76anbi1d 685 . . . . 5 (x = A, B → ((x (S × S) y (S × S)) ↔ (A, B (S × S) y (S × S))))
8 eqeq1 2359 . . . . . . . 8 (x = A, B → (x = z, wA, B = z, w))
98anbi1d 685 . . . . . . 7 (x = A, B → ((x = z, w y = v, u) ↔ (A, B = z, w y = v, u)))
109anbi1d 685 . . . . . 6 (x = A, B → (((x = z, w y = v, u) φ) ↔ ((A, B = z, w y = v, u) φ)))
11104exbidv 1630 . . . . 5 (x = A, B → (zwvu((x = z, w y = v, u) φ) ↔ zwvu((A, B = z, w y = v, u) φ)))
127, 11anbi12d 691 . . . 4 (x = A, B → (((x (S × S) y (S × S)) zwvu((x = z, w y = v, u) φ)) ↔ ((A, B (S × S) y (S × S)) zwvu((A, B = z, w y = v, u) φ))))
13 eleq1 2413 . . . . . 6 (y = C, D → (y (S × S) ↔ C, D (S × S)))
1413anbi2d 684 . . . . 5 (y = C, D → ((A, B (S × S) y (S × S)) ↔ (A, B (S × S) C, D (S × S))))
15 eqeq1 2359 . . . . . . . 8 (y = C, D → (y = v, uC, D = v, u))
1615anbi2d 684 . . . . . . 7 (y = C, D → ((A, B = z, w y = v, u) ↔ (A, B = z, w C, D = v, u)))
1716anbi1d 685 . . . . . 6 (y = C, D → (((A, B = z, w y = v, u) φ) ↔ ((A, B = z, w C, D = v, u) φ)))
18174exbidv 1630 . . . . 5 (y = C, D → (zwvu((A, B = z, w y = v, u) φ) ↔ zwvu((A, B = z, w C, D = v, u) φ)))
1914, 18anbi12d 691 . . . 4 (y = C, D → (((A, B (S × S) y (S × S)) zwvu((A, B = z, w y = v, u) φ)) ↔ ((A, B (S × S) C, D (S × S)) zwvu((A, B = z, w C, D = v, u) φ))))
20 opbrop.2 . . . 4 R = {x, y ((x (S × S) y (S × S)) zwvu((x = z, w y = v, u) φ))}
2112, 19, 20brabg 4706 . . 3 ((A, B V C, D V) → (A, BRC, D ↔ ((A, B (S × S) C, D (S × S)) zwvu((A, B = z, w C, D = v, u) φ))))
224, 5, 21syl2an 463 . 2 (((A S B S) (C S D S)) → (A, BRC, D ↔ ((A, B (S × S) C, D (S × S)) zwvu((A, B = z, w C, D = v, u) φ))))
23 opelxp 4811 . . . . 5 (A, B (S × S) ↔ (A S B S))
24 opelxp 4811 . . . . 5 (C, D (S × S) ↔ (C S D S))
2523, 24anbi12i 678 . . . 4 ((A, B (S × S) C, D (S × S)) ↔ ((A S B S) (C S D S)))
2625biimpri 197 . . 3 (((A S B S) (C S D S)) → (A, B (S × S) C, D (S × S)))
2726biantrurd 494 . 2 (((A S B S) (C S D S)) → (ψ ↔ ((A, B (S × S) C, D (S × S)) ψ)))
283, 22, 273bitr4d 276 1 (((A S B S) (C S D S)) → (A, BRC, Dψ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859  ⟨cop 4561  {copab 4622   class class class wbr 4639   × cxp 4770 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-xp 4784 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator