New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  opeliunxp2 GIF version

Theorem opeliunxp2 4822
 Description: Membership in a union of Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
opeliunxp2.1 (x = CB = E)
Assertion
Ref Expression
opeliunxp2 (C, D x A ({x} × B) ↔ (C A D E))
Distinct variable groups:   x,C   x,D   x,E   x,A
Allowed substitution hint:   B(x)

Proof of Theorem opeliunxp2
StepHypRef Expression
1 elex 2867 . . . 4 (C, D x A ({x} × B) → C, D V)
2 opexb 4603 . . . 4 (C, D V ↔ (C V D V))
31, 2sylib 188 . . 3 (C, D x A ({x} × B) → (C V D V))
43simpld 445 . 2 (C, D x A ({x} × B) → C V)
5 elex 2867 . . 3 (C AC V)
65adantr 451 . 2 ((C A D E) → C V)
7 nfcv 2489 . . 3 xC
8 nfiu1 3997 . . . . 5 xx A ({x} × B)
98nfel2 2501 . . . 4 xC, D x A ({x} × B)
10 nfv 1619 . . . 4 x(C A D E)
119, 10nfbi 1834 . . 3 x(C, D x A ({x} × B) ↔ (C A D E))
12 opeq1 4578 . . . . 5 (x = Cx, D = C, D)
1312eleq1d 2419 . . . 4 (x = C → (x, D x A ({x} × B) ↔ C, D x A ({x} × B)))
14 eleq1 2413 . . . . 5 (x = C → (x AC A))
15 opeliunxp2.1 . . . . . 6 (x = CB = E)
1615eleq2d 2420 . . . . 5 (x = C → (D BD E))
1714, 16anbi12d 691 . . . 4 (x = C → ((x A D B) ↔ (C A D E)))
1813, 17bibi12d 312 . . 3 (x = C → ((x, D x A ({x} × B) ↔ (x A D B)) ↔ (C, D x A ({x} × B) ↔ (C A D E))))
19 opeliunxp 4820 . . 3 (x, D x A ({x} × B) ↔ (x A D B))
207, 11, 18, 19vtoclgf 2913 . 2 (C V → (C, D x A ({x} × B) ↔ (C A D E)))
214, 6, 20pm5.21nii 342 1 (C, D x A ({x} × B) ↔ (C A D E))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859  {csn 3737  ∪ciun 3969  ⟨cop 4561   × cxp 4770 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-xp 4784 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator