Theorem p6exg 4290

Description: The P6 operator applied to a set yields a set. (Contributed by SF, 13-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
p6exg	⊢ (A ∈ V → P6 A ∈ V)

Proof of Theorem p6exg

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p6eq 4238	. . 3 ⊢ (x = A → P6 x = P6 A)
2	1	eleq1d 2419	. 2 ⊢ (x = A → ( P6 x ∈ V ↔ P6 A ∈ V))
3		ax-typlower 4086	. . 3 ⊢ ∃y∀z(z ∈ y ↔ ∀w⟪w, {z}⟫ ∈ x)
4		dfcleq 2347	. . . . . . 7 ⊢ (y = P6 x ↔ ∀z(z ∈ y ↔ z ∈ P6 x))
5		vex 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ z ∈ V
6		elp6 4263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ∈ V → (z ∈ P6 x ↔ ∀w⟪w, {z}⟫ ∈ x))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ P6 x ↔ ∀w⟪w, {z}⟫ ∈ x)
8	7	bibi2i 304	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ y ↔ z ∈ P6 x) ↔ (z ∈ y ↔ ∀w⟪w, {z}⟫ ∈ x))
9	8	albii 1566	. . . . . . 7 ⊢ (∀z(z ∈ y ↔ z ∈ P6 x) ↔ ∀z(z ∈ y ↔ ∀w⟪w, {z}⟫ ∈ x))
10	4, 9	bitri 240	. . . . . 6 ⊢ (y = P6 x ↔ ∀z(z ∈ y ↔ ∀w⟪w, {z}⟫ ∈ x))
11	10	biimpri 197	. . . . 5 ⊢ (∀z(z ∈ y ↔ ∀w⟪w, {z}⟫ ∈ x) → y = P6 x)
12		vex 2862	. . . . 5 ⊢ y ∈ V
13	11, 12	syl6eqelr 2442	. . . 4 ⊢ (∀z(z ∈ y ↔ ∀w⟪w, {z}⟫ ∈ x) → P6 x ∈ V)
14	13	exlimiv 1634	. . 3 ⊢ (∃y∀z(z ∈ y ↔ ∀w⟪w, {z}⟫ ∈ x) → P6 x ∈ V)
15	3, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ P6 x ∈ V
16	2, 15	vtoclg 2914	1 ⊢ (A ∈ V → P6 A ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859  {csn 3737  ⟪copk 4057   P6 cp6 4178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-ss 3259  df-nul 3551  df-sn 3741  df-pr 3742  df-opk 4058  df-xpk 4185  df-p6 4191

This theorem is referenced by:  uni1exg  4292  imakexg  4299