Theorem pw1exb 4326

Description: Biconditional existence for unit power class. (Contributed by SF, 20-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pw1exb	⊢ (℘1A ∈ V ↔ A ∈ V)

Proof of Theorem pw1exb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unipw1 4325	. . 3 ⊢ ∪℘1A = A
2		uniexg 4316	. . 3 ⊢ (℘1A ∈ V → ∪℘1A ∈ V)
3	1, 2	syl5eqelr 2438	. 2 ⊢ (℘1A ∈ V → A ∈ V)
4		pw1exg 4302	. 2 ⊢ (A ∈ V → ℘1A ∈ V)
5	3, 4	impbii 180	1 ⊢ (℘1A ∈ V ↔ A ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 176   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859  ∪cuni 3891  ℘₁cpw1 4135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-imak 4189  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193

This theorem is referenced by:  ncfinlower  4483  enpw1  6062  nenpw1pwlem2  6085  ce0nnuli  6178