New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  ralxpf GIF version

Theorem ralxpf 4827
 Description: Version of ralxp 4825 with bound-variable hypotheses. (Contributed by NM, 18-Aug-2006.) (Revised by set.mm contributors, 20-Dec-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
ralxpf.1 yφ
ralxpf.2 zφ
ralxpf.3 xψ
ralxpf.4 (x = y, z → (φψ))
Assertion
Ref Expression
ralxpf (x (A × B)φy A z B ψ)
Distinct variable groups:   x,y,A   x,z,B,y
Allowed substitution hints:   φ(x,y,z)   ψ(x,y,z)   A(z)

Proof of Theorem ralxpf
Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cbvralsv 2846 . 2 (x (A × B)φw (A × B)[w / x]φ)
2 cbvralsv 2846 . . . 4 (z B [u / y]ψv B [v / z][u / y]ψ)
32ralbii 2638 . . 3 (u A z B [u / y]ψu A v B [v / z][u / y]ψ)
4 nfv 1619 . . . 4 uz B ψ
5 nfcv 2489 . . . . 5 yB
6 nfv 1619 . . . . . 6 uψ
76nfs1 2044 . . . . 5 y[u / y]ψ
85, 7nfral 2667 . . . 4 yz B [u / y]ψ
9 sbequ12 1919 . . . . 5 (y = u → (ψ ↔ [u / y]ψ))
109ralbidv 2634 . . . 4 (y = u → (z B ψz B [u / y]ψ))
114, 8, 10cbvral 2831 . . 3 (y A z B ψu A z B [u / y]ψ)
12 vex 2862 . . . . . 6 u V
13 vex 2862 . . . . . 6 v V
1412, 13eqvinop 4606 . . . . 5 (w = u, vyz(w = y, z y, z = u, v))
15 ralxpf.1 . . . . . . . 8 yφ
1615nfsb 2109 . . . . . . 7 y[w / x]φ
177nfsb 2109 . . . . . . 7 y[v / z][u / y]ψ
1816, 17nfbi 1834 . . . . . 6 y([w / x]φ ↔ [v / z][u / y]ψ)
19 ralxpf.2 . . . . . . . . 9 zφ
2019nfsb 2109 . . . . . . . 8 z[w / x]φ
21 nfv 1619 . . . . . . . . 9 v[u / y]ψ
2221nfs1 2044 . . . . . . . 8 z[v / z][u / y]ψ
2320, 22nfbi 1834 . . . . . . 7 z([w / x]φ ↔ [v / z][u / y]ψ)
24 ralxpf.3 . . . . . . . . 9 xψ
25 ralxpf.4 . . . . . . . . 9 (x = y, z → (φψ))
2624, 25sbhypf 2904 . . . . . . . 8 (w = y, z → ([w / x]φψ))
27 opth 4602 . . . . . . . . 9 (y, z = u, v ↔ (y = u z = v))
28 sbequ12 1919 . . . . . . . . . 10 (z = v → ([u / y]ψ ↔ [v / z][u / y]ψ))
299, 28sylan9bb 680 . . . . . . . . 9 ((y = u z = v) → (ψ ↔ [v / z][u / y]ψ))
3027, 29sylbi 187 . . . . . . . 8 (y, z = u, v → (ψ ↔ [v / z][u / y]ψ))
3126, 30sylan9bb 680 . . . . . . 7 ((w = y, z y, z = u, v) → ([w / x]φ ↔ [v / z][u / y]ψ))
3223, 31exlimi 1803 . . . . . 6 (z(w = y, z y, z = u, v) → ([w / x]φ ↔ [v / z][u / y]ψ))
3318, 32exlimi 1803 . . . . 5 (yz(w = y, z y, z = u, v) → ([w / x]φ ↔ [v / z][u / y]ψ))
3414, 33sylbi 187 . . . 4 (w = u, v → ([w / x]φ ↔ [v / z][u / y]ψ))
3534ralxp 4825 . . 3 (w (A × B)[w / x]φu A v B [v / z][u / y]ψ)
363, 11, 353bitr4ri 269 . 2 (w (A × B)[w / x]φy A z B ψ)
371, 36bitri 240 1 (x (A × B)φy A z B ψ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541  Ⅎwnf 1544   = wceq 1642  [wsb 1648  ∀wral 2614  ⟨cop 4561   × cxp 4770 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-xp 4784 This theorem is referenced by:  rexxpf  4828
 Copyright terms: Public domain W3C validator