Theorem reean 2777

Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by NM, 27-Oct-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 30-May-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
reean.1	⊢ Ⅎyφ
reean.2	⊢ Ⅎxψ

Assertion

Ref	Expression
reean	⊢ (∃x ∈ A ∃y ∈ B (φ ∧ ψ) ↔ (∃x ∈ A φ ∧ ∃y ∈ B ψ))

Distinct variable groups:   y,A   x,B   x,y

Allowed substitution hints:   φ(x,y)   ψ(x,y)   A(x)   B(y)

Proof of Theorem reean

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 797	. . . 4 ⊢ (((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (φ ∧ ψ)) ↔ ((x ∈ A ∧ φ) ∧ (y ∈ B ∧ ψ)))
2	1	2exbii 1583	. . 3 ⊢ (∃x∃y((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (φ ∧ ψ)) ↔ ∃x∃y((x ∈ A ∧ φ) ∧ (y ∈ B ∧ ψ)))
3		nfv 1619	. . . . 5 ⊢ Ⅎy x ∈ A
4		reean.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎyφ
5	3, 4	nfan 1824	. . . 4 ⊢ Ⅎy(x ∈ A ∧ φ)
6		nfv 1619	. . . . 5 ⊢ Ⅎx y ∈ B
7		reean.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎxψ
8	6, 7	nfan 1824	. . . 4 ⊢ Ⅎx(y ∈ B ∧ ψ)
9	5, 8	eean 1912	. . 3 ⊢ (∃x∃y((x ∈ A ∧ φ) ∧ (y ∈ B ∧ ψ)) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∧ ∃y(y ∈ B ∧ ψ)))
10	2, 9	bitri 240	. 2 ⊢ (∃x∃y((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (φ ∧ ψ)) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∧ ∃y(y ∈ B ∧ ψ)))
11		r2ex 2652	. 2 ⊢ (∃x ∈ A ∃y ∈ B (φ ∧ ψ) ↔ ∃x∃y((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (φ ∧ ψ)))
12		df-rex 2620	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A φ ↔ ∃x(x ∈ A ∧ φ))
13		df-rex 2620	. . 3 ⊢ (∃y ∈ B ψ ↔ ∃y(y ∈ B ∧ ψ))
14	12, 13	anbi12i 678	. 2 ⊢ ((∃x ∈ A φ ∧ ∃y ∈ B ψ) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ∧ ∃y(y ∈ B ∧ ψ)))
15	10, 11, 14	3bitr4i 268	1 ⊢ (∃x ∈ A ∃y ∈ B (φ ∧ ψ) ↔ (∃x ∈ A φ ∧ ∃y ∈ B ψ))

Syntax hints:   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541  Ⅎwnf 1544   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-rex 2620

This theorem is referenced by:  reeanv  2778