Theorem releqel 5807

Description: Lemma to turn a membership condition into an equality condition. (Contributed by SF, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
releqel.1	⊢ T ∈ V
releqel.2	⊢ (⟨{y}, T⟩ ∈ R ↔ y ∈ A)

Assertion

Ref	Expression
releqel	⊢ (⟨x, T⟩ ∈ ∼ (( Ins3 S ⊕ Ins2 R) “ 1c) ↔ x = A)

Distinct variable groups:   y,A   y,R   y,T   x,y

Allowed substitution hints:   A(x)   R(x)   T(x)

Proof of Theorem releqel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elima1c 4947	. . . 4 ⊢ (⟨x, T⟩ ∈ (( Ins3 S ⊕ Ins2 R) “ 1c) ↔ ∃y⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ ( Ins3 S ⊕ Ins2 R))
2		elsymdif 3223	. . . . . 6 ⊢ (⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ ( Ins3 S ⊕ Ins2 R) ↔ ¬ (⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ Ins3 S ↔ ⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ Ins2 R))
3		releqel.1	. . . . . . . . 9 ⊢ T ∈ V
4	3	otelins3 5792	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ Ins3 S ↔ ⟨{y}, x⟩ ∈ S )
5		vex 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ y ∈ V
6		vex 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ x ∈ V
7	5, 6	opelssetsn 4760	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨{y}, x⟩ ∈ S ↔ y ∈ x)
8	4, 7	bitri 240	. . . . . . 7 ⊢ (⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ Ins3 S ↔ y ∈ x)
9	6	otelins2 5791	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ Ins2 R ↔ ⟨{y}, T⟩ ∈ R)
10		releqel.2	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨{y}, T⟩ ∈ R ↔ y ∈ A)
11	9, 10	bitri 240	. . . . . . 7 ⊢ (⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ Ins2 R ↔ y ∈ A)
12	8, 11	bibi12i 306	. . . . . 6 ⊢ ((⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ Ins3 S ↔ ⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ Ins2 R) ↔ (y ∈ x ↔ y ∈ A))
13	2, 12	xchbinx 301	. . . . 5 ⊢ (⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ ( Ins3 S ⊕ Ins2 R) ↔ ¬ (y ∈ x ↔ y ∈ A))
14	13	exbii 1582	. . . 4 ⊢ (∃y⟨{y}, ⟨x, T⟩⟩ ∈ ( Ins3 S ⊕ Ins2 R) ↔ ∃y ¬ (y ∈ x ↔ y ∈ A))
15		exnal 1574	. . . 4 ⊢ (∃y ¬ (y ∈ x ↔ y ∈ A) ↔ ¬ ∀y(y ∈ x ↔ y ∈ A))
16	1, 14, 15	3bitrri 263	. . 3 ⊢ (¬ ∀y(y ∈ x ↔ y ∈ A) ↔ ⟨x, T⟩ ∈ (( Ins3 S ⊕ Ins2 R) “ 1c))
17	16	con1bii 321	. 2 ⊢ (¬ ⟨x, T⟩ ∈ (( Ins3 S ⊕ Ins2 R) “ 1c) ↔ ∀y(y ∈ x ↔ y ∈ A))
18	6, 3	opex 4588	. . 3 ⊢ ⟨x, T⟩ ∈ V
19	18	elcompl 3225	. 2 ⊢ (⟨x, T⟩ ∈ ∼ (( Ins3 S ⊕ Ins2 R) “ 1c) ↔ ¬ ⟨x, T⟩ ∈ (( Ins3 S ⊕ Ins2 R) “ 1c))
20		dfcleq 2347	. 2 ⊢ (x = A ↔ ∀y(y ∈ x ↔ y ∈ A))
21	17, 19, 20	3bitr4i 268	1 ⊢ (⟨x, T⟩ ∈ ∼ (( Ins3 S ⊕ Ins2 R) “ 1c) ↔ x = A)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 176  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859   ∼ ccompl 3205   ⊕ csymdif 3209  {csn 3737  1_cc1c 4134  ⟨cop 4561   S csset 4719   “ cima 4722   Ins2 cins2 5749   Ins3 cins3 5751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-cnv 4785  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752

This theorem is referenced by:  releqmpt  5808  ceex  6174  nmembers1lem1  6268  nchoicelem10  6298