New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  resoprab GIF version

Theorem resoprab 5581
 Description: Restriction of an operation class abstraction. (Contributed by set.mm contributors, 10-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
resoprab ({x, y, z φ} (A × B)) = {x, y, z ((x A y B) φ)}
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z
Allowed substitution hints:   φ(x,y,z)

Proof of Theorem resoprab
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resopab 4999 . . 3 ({w, z xy(w = x, y φ)} (A × B)) = {w, z (w (A × B) xy(w = x, y φ))}
2 19.42vv 1907 . . . . 5 (xy(w (A × B) (w = x, y φ)) ↔ (w (A × B) xy(w = x, y φ)))
3 an12 772 . . . . . . 7 ((w (A × B) (w = x, y φ)) ↔ (w = x, y (w (A × B) φ)))
4 eleq1 2413 . . . . . . . . . 10 (w = x, y → (w (A × B) ↔ x, y (A × B)))
5 opelxp 4811 . . . . . . . . . 10 (x, y (A × B) ↔ (x A y B))
64, 5syl6bb 252 . . . . . . . . 9 (w = x, y → (w (A × B) ↔ (x A y B)))
76anbi1d 685 . . . . . . . 8 (w = x, y → ((w (A × B) φ) ↔ ((x A y B) φ)))
87pm5.32i 618 . . . . . . 7 ((w = x, y (w (A × B) φ)) ↔ (w = x, y ((x A y B) φ)))
93, 8bitri 240 . . . . . 6 ((w (A × B) (w = x, y φ)) ↔ (w = x, y ((x A y B) φ)))
1092exbii 1583 . . . . 5 (xy(w (A × B) (w = x, y φ)) ↔ xy(w = x, y ((x A y B) φ)))
112, 10bitr3i 242 . . . 4 ((w (A × B) xy(w = x, y φ)) ↔ xy(w = x, y ((x A y B) φ)))
1211opabbii 4626 . . 3 {w, z (w (A × B) xy(w = x, y φ))} = {w, z xy(w = x, y ((x A y B) φ))}
131, 12eqtri 2373 . 2 ({w, z xy(w = x, y φ)} (A × B)) = {w, z xy(w = x, y ((x A y B) φ))}
14 dfoprab2 5558 . . 3 {x, y, z φ} = {w, z xy(w = x, y φ)}
1514reseq1i 4930 . 2 ({x, y, z φ} (A × B)) = ({w, z xy(w = x, y φ)} (A × B))
16 dfoprab2 5558 . 2 {x, y, z ((x A y B) φ)} = {w, z xy(w = x, y ((x A y B) φ))}
1713, 15, 163eqtr4i 2383 1 ({x, y, z φ} (A × B)) = {x, y, z ((x A y B) φ)}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ⟨cop 4561  {copab 4622   × cxp 4770   ↾ cres 4774  {coprab 5527 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-xp 4784  df-res 4788  df-oprab 5528 This theorem is referenced by:  resoprab2  5582
 Copyright terms: Public domain W3C validator