New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  sfin112 GIF version

Theorem sfin112 4529
 Description: Equality law for the finite S operator. Theorem X.1.43 of [Rosser] p. 530. (Contributed by SF, 27-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
sfin112 (( Sfin (M, N) Sfin (M, P)) → N = P)

Proof of Theorem sfin112
Dummy variables x y n k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3an6 1262 . . 3 (((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn ) (x(1x M x N) y(1y M y P))) ↔ ((M Nn N Nn x(1x M x N)) (M Nn P Nn y(1y M y P))))
2 eeanv 1913 . . . 4 (xy((1x M x N) (1y M y P)) ↔ (x(1x M x N) y(1y M y P)))
323anbi3i 1144 . . 3 (((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn ) xy((1x M x N) (1y M y P))) ↔ ((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn ) (x(1x M x N) y(1y M y P))))
4 df-sfin 4446 . . . 4 ( Sfin (M, N) ↔ (M Nn N Nn x(1x M x N)))
5 df-sfin 4446 . . . 4 ( Sfin (M, P) ↔ (M Nn P Nn y(1y M y P)))
64, 5anbi12i 678 . . 3 (( Sfin (M, N) Sfin (M, P)) ↔ ((M Nn N Nn x(1x M x N)) (M Nn P Nn y(1y M y P))))
71, 3, 63bitr4ri 269 . 2 (( Sfin (M, N) Sfin (M, P)) ↔ ((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn ) xy((1x M x N) (1y M y P))))
8 simpllr 735 . . . . . . 7 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P))) → M Nn )
9 simprll 738 . . . . . . 7 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P))) → 1x M)
10 simprrl 740 . . . . . . 7 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P))) → 1y M)
11 ncfinlower 4483 . . . . . . 7 ((M Nn 1x M 1y M) → n Nn (x n y n))
128, 9, 10, 11syl3anc 1182 . . . . . 6 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P))) → n Nn (x n y n))
13 nnpweq 4523 . . . . . . . . . 10 ((n Nn x n y n) → k Nn (x k y k))
14133expb 1152 . . . . . . . . 9 ((n Nn (x n y n)) → k Nn (x k y k))
15 simp1rl 1020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P)) (k Nn (x k y k))) → N Nn )
16 simp3l 983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P)) (k Nn (x k y k))) → k Nn )
17 simp2lr 1023 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P)) (k Nn (x k y k))) → x N)
18 simp3rl 1028 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P)) (k Nn (x k y k))) → x k)
19 nnceleq 4430 . . . . . . . . . . . . . 14 (((N Nn k Nn ) (x N x k)) → N = k)
2015, 16, 17, 18, 19syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P)) (k Nn (x k y k))) → N = k)
21 simp1rr 1021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P)) (k Nn (x k y k))) → P Nn )
22 simp2rr 1025 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P)) (k Nn (x k y k))) → y P)
23 simp3rr 1029 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P)) (k Nn (x k y k))) → y k)
24 nnceleq 4430 . . . . . . . . . . . . . 14 (((P Nn k Nn ) (y P y k)) → P = k)
2521, 16, 22, 23, 24syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P)) (k Nn (x k y k))) → P = k)
2620, 25eqtr4d 2388 . . . . . . . . . . . 12 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P)) (k Nn (x k y k))) → N = P)
27263expa 1151 . . . . . . . . . . 11 (((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P))) (k Nn (x k y k))) → N = P)
2827expr 598 . . . . . . . . . 10 (((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P))) k Nn ) → ((x k y k) → N = P))
2928rexlimdva 2738 . . . . . . . . 9 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P))) → (k Nn (x k y k) → N = P))
3014, 29syl5 28 . . . . . . . 8 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P))) → ((n Nn (x n y n)) → N = P))
3130exp3a 425 . . . . . . 7 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P))) → (n Nn → ((x n y n) → N = P)))
3231rexlimdv 2737 . . . . . 6 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P))) → (n Nn (x n y n) → N = P))
3312, 32mpd 14 . . . . 5 ((((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) ((1x M x N) (1y M y P))) → N = P)
3433ex 423 . . . 4 (((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) → (((1x M x N) (1y M y P)) → N = P))
3534exlimdvv 1637 . . 3 (((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn )) → (xy((1x M x N) (1y M y P)) → N = P))
36353impia 1148 . 2 (((M Nn M Nn ) (N Nn P Nn ) xy((1x M x N) (1y M y P))) → N = P)
377, 36sylbi 187 1 (( Sfin (M, N) Sfin (M, P)) → N = P)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   ∧ w3a 934  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2615  ℘cpw 3722  ℘1cpw1 4135   Nn cnnc 4373   Sfin wsfin 4438 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-sfin 4446 This theorem is referenced by:  sfintfin  4532  vfinspsslem1  4550
 Copyright terms: Public domain W3C validator