New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  ssetpov GIF version

Theorem ssetpov 5944
 Description: The subset relationship partially orders the universe. (Contributed by SF, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssetpov S Po V

Proof of Theorem ssetpov
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssetex 4744 . . . 4 S V
21a1i 10 . . 3 ( ⊤ → S V)
3 vvex 4109 . . . 4 V V
43a1i 10 . . 3 ( ⊤ → V V)
5 ssid 3290 . . . . 5 x x
6 vex 2862 . . . . . 6 x V
76, 6brsset 4758 . . . . 5 (x S xx x)
85, 7mpbir 200 . . . 4 x S x
98a1i 10 . . 3 (( ⊤ x V) → x S x)
10 sstr 3280 . . . . 5 ((x y y z) → x z)
11 vex 2862 . . . . . . 7 y V
126, 11brsset 4758 . . . . . 6 (x S yx y)
13 vex 2862 . . . . . . 7 z V
1411, 13brsset 4758 . . . . . 6 (y S zy z)
1512, 14anbi12i 678 . . . . 5 ((x S y y S z) ↔ (x y y z))
166, 13brsset 4758 . . . . 5 (x S zx z)
1710, 15, 163imtr4i 257 . . . 4 ((x S y y S z) → x S z)
18173ad2ant3 978 . . 3 (( ⊤ (x V y V z V) (x S y y S z)) → x S z)
19 eqss 3287 . . . . . 6 (x = y ↔ (x y y x))
2011, 6brsset 4758 . . . . . . 7 (y S xy x)
2112, 20anbi12i 678 . . . . . 6 ((x S y y S x) ↔ (x y y x))
2219, 21bitr4i 243 . . . . 5 (x = y ↔ (x S y y S x))
2322biimpri 197 . . . 4 ((x S y y S x) → x = y)
24233ad2ant3 978 . . 3 (( ⊤ (x V y V) (x S y y S x)) → x = y)
252, 4, 9, 18, 24pod 5936 . 2 ( ⊤ → S Po V)
2625trud 1323 1 S Po V
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   ⊤ wtru 1316   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859   ⊆ wss 3257   class class class wbr 4639   S csset 4719   Po cpartial 5891 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-sset 4725  df-trans 5899  df-ref 5900  df-antisym 5901  df-partial 5902 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator