New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  vfinncvntnn GIF version

Theorem vfinncvntnn 4548
 Description: If the universe is finite, then the size of the universe is not the T-raising of a natural. Theorem X.1.58 of [Rosser] p. 534. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
vfinncvntnn ((V Fin N Nn ) → Tfin NNcfin V)

Proof of Theorem vfinncvntnn
Dummy variable a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vvex 4109 . . . . . . . 8 V V
2 ncfinprop 4474 . . . . . . . 8 ((V Fin V V) → ( Ncfin V Nn V Ncfin V))
31, 2mpan2 652 . . . . . . 7 (V Fin → ( Ncfin V Nn V Ncfin V))
43simprd 449 . . . . . 6 (V Fin → V Ncfin V)
5 ne0i 3556 . . . . . 6 (V Ncfin V → Ncfin V ≠ )
64, 5syl 15 . . . . 5 (V FinNcfin V ≠ )
76necomd 2599 . . . 4 (V FinNcfin V)
8 tfineq 4488 . . . . . 6 (N = Tfin N = Tfin )
9 tfinnul 4491 . . . . . 6 Tfin =
108, 9syl6eq 2401 . . . . 5 (N = Tfin N = )
1110neeq1d 2529 . . . 4 (N = → ( Tfin NNcfin V ↔ Ncfin V))
127, 11syl5ibr 212 . . 3 (N = → (V FinTfin NNcfin V))
1312adantrd 454 . 2 (N = → ((V Fin N Nn ) → Tfin NNcfin V))
142simpld 445 . . . . . . . . 9 ((V Fin V V) → Ncfin V Nn )
151, 14mpan2 652 . . . . . . . 8 (V FinNcfin V Nn )
16 ltfinirr 4457 . . . . . . . 8 ( Ncfin V Nn → ¬ ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫ <fin )
1715, 16syl 15 . . . . . . 7 (V Fin → ¬ ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫ <fin )
18173ad2ant1 976 . . . . . 6 ((V Fin N Nn N) → ¬ ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫ <fin )
19 vfintle 4546 . . . . . . . 8 ((V Fin N Nn N) → ⟪ Tfin N, Ncfin 1cfin )
20 vfin1cltv 4547 . . . . . . . . 9 (V Fin → ⟪ Ncfin 1c, Ncfin V⟫ <fin )
21203ad2ant1 976 . . . . . . . 8 ((V Fin N Nn N) → ⟪ Ncfin 1c, Ncfin V⟫ <fin )
22 tfinprop 4489 . . . . . . . . . . 11 ((N Nn N) → ( Tfin N Nn a N 1a Tfin N))
2322simpld 445 . . . . . . . . . 10 ((N Nn N) → Tfin N Nn )
24233adant1 973 . . . . . . . . 9 ((V Fin N Nn N) → Tfin N Nn )
25 1cex 4142 . . . . . . . . . . 11 1c V
26 ncfinprop 4474 . . . . . . . . . . . 12 ((V Fin 1c V) → ( Ncfin 1c Nn 1c Ncfin 1c))
2726simpld 445 . . . . . . . . . . 11 ((V Fin 1c V) → Ncfin 1c Nn )
2825, 27mpan2 652 . . . . . . . . . 10 (V FinNcfin 1c Nn )
29283ad2ant1 976 . . . . . . . . 9 ((V Fin N Nn N) → Ncfin 1c Nn )
30153ad2ant1 976 . . . . . . . . 9 ((V Fin N Nn N) → Ncfin V Nn )
31 leltfintr 4458 . . . . . . . . 9 (( Tfin N Nn Ncfin 1c Nn Ncfin V Nn ) → ((⟪ Tfin N, Ncfin 1cfin Ncfin 1c, Ncfin V⟫ <fin ) → ⟪ Tfin N, Ncfin V⟫ <fin ))
3224, 29, 30, 31syl3anc 1182 . . . . . . . 8 ((V Fin N Nn N) → ((⟪ Tfin N, Ncfin 1cfin Ncfin 1c, Ncfin V⟫ <fin ) → ⟪ Tfin N, Ncfin V⟫ <fin ))
3319, 21, 32mp2and 660 . . . . . . 7 ((V Fin N Nn N) → ⟪ Tfin N, Ncfin V⟫ <fin )
34 opkeq1 4059 . . . . . . . 8 ( Tfin N = Ncfin V → ⟪ Tfin N, Ncfin V⟫ = ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫)
3534eleq1d 2419 . . . . . . 7 ( Tfin N = Ncfin V → (⟪ Tfin N, Ncfin V⟫ <fin ↔ ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫ <fin ))
3633, 35syl5ibcom 211 . . . . . 6 ((V Fin N Nn N) → ( Tfin N = Ncfin V → ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫ <fin ))
3718, 36mtod 168 . . . . 5 ((V Fin N Nn N) → ¬ Tfin N = Ncfin V)
38 df-ne 2518 . . . . 5 ( Tfin NNcfin V ↔ ¬ Tfin N = Ncfin V)
3937, 38sylibr 203 . . . 4 ((V Fin N Nn N) → Tfin NNcfin V)
40393expa 1151 . . 3 (((V Fin N Nn ) N) → Tfin NNcfin V)
4140expcom 424 . 2 (N → ((V Fin N Nn ) → Tfin NNcfin V))
4213, 41pm2.61ine 2592 1 ((V Fin N Nn ) → Tfin NNcfin V)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  Vcvv 2859  ∅c0 3550  ⟪copk 4057  1cc1c 4134  ℘1cpw1 4135   Nn cnnc 4373   Fin cfin 4376   ≤fin clefin 4432
 Copyright terms: Public domain W3C validator