New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  vfinspnn GIF version

Theorem vfinspnn 4541
 Description: If the universe is finite, then Spfin is a subset of the non-empty naturals. Theorem X.1.53 of [Rosser] p. 534. (Contributed by SF, 27-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
vfinspnn (V FinSpfin ( Nn {}))

Proof of Theorem vfinspnn
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vvex 4109 . . . . 5 V V
2 ncfinprop 4474 . . . . 5 ((V Fin V V) → ( Ncfin V Nn V Ncfin V))
31, 2mpan2 652 . . . 4 (V Fin → ( Ncfin V Nn V Ncfin V))
4 ne0i 3556 . . . . 5 (V Ncfin V → Ncfin V ≠ )
54anim2i 552 . . . 4 (( Ncfin V Nn V Ncfin V) → ( Ncfin V Nn Ncfin V ≠ ))
63, 5syl 15 . . 3 (V Fin → ( Ncfin V Nn Ncfin V ≠ ))
7 eldifsn 3839 . . 3 ( Ncfin V ( Nn {}) ↔ ( Ncfin V Nn Ncfin V ≠ ))
86, 7sylibr 203 . 2 (V FinNcfin V ( Nn {}))
9 df-sfin 4446 . . . . . 6 ( Sfin (z, x) ↔ (z Nn x Nn y(1y z y x)))
10 ne0i 3556 . . . . . . . . . 10 (1y zz)
1110adantr 451 . . . . . . . . 9 ((1y z y x) → z)
1211exlimiv 1634 . . . . . . . 8 (y(1y z y x) → z)
13 eldifsn 3839 . . . . . . . . 9 (z ( Nn {}) ↔ (z Nn z))
1413biimpri 197 . . . . . . . 8 ((z Nn z) → z ( Nn {}))
1512, 14sylan2 460 . . . . . . 7 ((z Nn y(1y z y x)) → z ( Nn {}))
16153adant2 974 . . . . . 6 ((z Nn x Nn y(1y z y x)) → z ( Nn {}))
179, 16sylbi 187 . . . . 5 ( Sfin (z, x) → z ( Nn {}))
1817adantl 452 . . . 4 ((x ( Nn {}) Sfin (z, x)) → z ( Nn {}))
1918ax-gen 1546 . . 3 z((x ( Nn {}) Sfin (z, x)) → z ( Nn {}))
2019rgenw 2681 . 2 x Spfin z((x ( Nn {}) Sfin (z, x)) → z ( Nn {}))
21 nncex 4396 . . . 4 Nn V
22 snex 4111 . . . 4 {} V
2321, 22difex 4107 . . 3 ( Nn {}) V
24 spfininduct 4540 . . 3 ((( Nn {}) V Ncfin V ( Nn {}) x Spfin z((x ( Nn {}) Sfin (z, x)) → z ( Nn {}))) → Spfin ( Nn {}))
2523, 24mp3an1 1264 . 2 (( Ncfin V ( Nn {}) x Spfin z((x ( Nn {}) Sfin (z, x)) → z ( Nn {}))) → Spfin ( Nn {}))
268, 20, 25sylancl 643 1 (V FinSpfin ( Nn {}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   ∧ w3a 934  ∀wal 1540  ∃wex 1541   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∀wral 2614  Vcvv 2859   ∖ cdif 3206   ⊆ wss 3257  ∅c0 3550  ℘cpw 3722  {csn 3737  ℘1cpw1 4135   Nn cnnc 4373   Fin cfin 4376   Ncfin cncfin 4434   Sfin wsfin 4438   Spfin cspfin 4439 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-ncfin 4442  df-sfin 4446  df-spfin 4447 This theorem is referenced by:  vfinncvntsp  4549  vfinspsslem1  4550  vfinncsp  4554
 Copyright terms: Public domain W3C validator