New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  vfintle GIF version

Theorem vfintle 4546
 Description: If the universe is finite, then the T-raising of all non-empty naturals are no greater than the size of 1c. Theorem X.1.56 of [Rosser] p. 534. (Contributed by SF, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
vfintle ((V Fin N Nn N) → ⟪ Tfin N, Ncfin 1cfin )

Proof of Theorem vfintle
Dummy variable a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3559 . . . 4 (Na a N)
2 simp2 956 . . . . . . . 8 ((V Fin N Nn a N) → N Nn )
3 ncfinprop 4474 . . . . . . . . . 10 ((V Fin a N) → ( Ncfin a Nn a Ncfin a))
433adant2 974 . . . . . . . . 9 ((V Fin N Nn a N) → ( Ncfin a Nn a Ncfin a))
54simpld 445 . . . . . . . 8 ((V Fin N Nn a N) → Ncfin a Nn )
6 simp3 957 . . . . . . . 8 ((V Fin N Nn a N) → a N)
74simprd 449 . . . . . . . 8 ((V Fin N Nn a N) → a Ncfin a)
8 nnceleq 4430 . . . . . . . 8 (((N Nn Ncfin a Nn ) (a N a Ncfin a)) → N = Ncfin a)
92, 5, 6, 7, 8syl22anc 1183 . . . . . . 7 ((V Fin N Nn a N) → N = Ncfin a)
1093expia 1153 . . . . . 6 ((V Fin N Nn ) → (a NN = Ncfin a))
11 simpr 447 . . . . . . . . . 10 ((V Fin N = Ncfin a) → N = Ncfin a)
12 uncompl 4074 . . . . . . . . . . . . 13 (a ∪ ∼ a) = V
13 ncfineq 4473 . . . . . . . . . . . . 13 ((a ∪ ∼ a) = V → Ncfin (a ∪ ∼ a) = Ncfin V)
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12 Ncfin (a ∪ ∼ a) = Ncfin V
15 vex 2862 . . . . . . . . . . . . 13 a V
1615complex 4104 . . . . . . . . . . . . . 14 a V
17 incompl 4073 . . . . . . . . . . . . . 14 (a ∩ ∼ a) =
18 ncfindi 4475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((V Fin a V) a V (a ∩ ∼ a) = ) → Ncfin (a ∪ ∼ a) = ( Ncfin a +c Ncfina))
1916, 17, 18mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . 13 ((V Fin a V) → Ncfin (a ∪ ∼ a) = ( Ncfin a +c Ncfina))
2015, 19mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12 (V FinNcfin (a ∪ ∼ a) = ( Ncfin a +c Ncfina))
2114, 20syl5eqr 2399 . . . . . . . . . . 11 (V FinNcfin V = ( Ncfin a +c Ncfina))
2221adantr 451 . . . . . . . . . 10 ((V Fin N = Ncfin a) → Ncfin V = ( Ncfin a +c Ncfina))
2311, 22opkeq12d 4067 . . . . . . . . 9 ((V Fin N = Ncfin a) → ⟪N, Ncfin V⟫ = ⟪ Ncfin a, ( Ncfin a +c Ncfina)⟫)
24 ncfinex 4472 . . . . . . . . . . 11 Ncfin a V
25 ncfinprop 4474 . . . . . . . . . . . . 13 ((V Fin a V) → ( Ncfina Nn a Ncfina))
2616, 25mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12 (V Fin → ( Ncfina Nn a Ncfina))
2726simpld 445 . . . . . . . . . . 11 (V FinNcfina Nn )
28 lefinaddc 4450 . . . . . . . . . . 11 (( Ncfin a V Ncfina Nn ) → ⟪ Ncfin a, ( Ncfin a +c Ncfina)⟫ fin )
2924, 27, 28sylancr 644 . . . . . . . . . 10 (V Fin → ⟪ Ncfin a, ( Ncfin a +c Ncfina)⟫ fin )
3029adantr 451 . . . . . . . . 9 ((V Fin N = Ncfin a) → ⟪ Ncfin a, ( Ncfin a +c Ncfina)⟫ fin )
3123, 30eqeltrd 2427 . . . . . . . 8 ((V Fin N = Ncfin a) → ⟪N, Ncfin V⟫ fin )
3231ex 423 . . . . . . 7 (V Fin → (N = Ncfin a → ⟪N, Ncfin V⟫ fin ))
3332adantr 451 . . . . . 6 ((V Fin N Nn ) → (N = Ncfin a → ⟪N, Ncfin V⟫ fin ))
3410, 33syld 40 . . . . 5 ((V Fin N Nn ) → (a N → ⟪N, Ncfin V⟫ fin ))
3534exlimdv 1636 . . . 4 ((V Fin N Nn ) → (a a N → ⟪N, Ncfin V⟫ fin ))
361, 35syl5bi 208 . . 3 ((V Fin N Nn ) → (N → ⟪N, Ncfin V⟫ fin ))
37363impia 1148 . 2 ((V Fin N Nn N) → ⟪N, Ncfin V⟫ fin )
38 simp2 956 . . . 4 ((V Fin N Nn N) → N Nn )
39 vvex 4109 . . . . . . 7 V V
40 ncfinprop 4474 . . . . . . 7 ((V Fin V V) → ( Ncfin V Nn V Ncfin V))
4139, 40mpan2 652 . . . . . 6 (V Fin → ( Ncfin V Nn V Ncfin V))
42413ad2ant1 976 . . . . 5 ((V Fin N Nn N) → ( Ncfin V Nn V Ncfin V))
4342simpld 445 . . . 4 ((V Fin N Nn N) → Ncfin V Nn )
44 tfinlefin 4502 . . . 4 ((N Nn Ncfin V Nn ) → (⟪N, Ncfin V⟫ fin ↔ ⟪ Tfin N, Tfin Ncfin V⟫ fin ))
4538, 43, 44syl2anc 642 . . 3 ((V Fin N Nn N) → (⟪N, Ncfin V⟫ fin ↔ ⟪ Tfin N, Tfin Ncfin V⟫ fin ))
46 tncveqnc1fin 4544 . . . . . 6 (V FinTfin Ncfin V = Ncfin 1c)
47463ad2ant1 976 . . . . 5 ((V Fin N Nn N) → Tfin Ncfin V = Ncfin 1c)
4847opkeq2d 4066 . . . 4 ((V Fin N Nn N) → ⟪ Tfin N, Tfin Ncfin V⟫ = ⟪ Tfin N, Ncfin 1c⟫)
4948eleq1d 2419 . . 3 ((V Fin N Nn N) → (⟪ Tfin N, Tfin Ncfin V⟫ fin ↔ ⟪ Tfin N, Ncfin 1cfin ))
5045, 49bitrd 244 . 2 ((V Fin N Nn N) → (⟪N, Ncfin V⟫ fin ↔ ⟪ Tfin N, Ncfin 1cfin ))
5137, 50mpbid 201 1 ((V Fin N Nn N) → ⟪ Tfin N, Ncfin 1cfin )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  Vcvv 2859   ∼ ccompl 3205   ∪ cun 3207   ∩ cin 3208  ∅c0 3550  ⟪copk 4057  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373   +c cplc 4375   Fin cfin 4376   ≤fin clefin 4432   Ncfin cncfin 4434   Tfin ctfin 4435 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443 This theorem is referenced by:  vfinncvntnn  4548  vfinspsslem1  4550
 Copyright terms: Public domain W3C validator