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Theorem vinf 4555
Description: The universe is infinite. Theorem X.1.63 of [Rosser] p. 536. (Contributed by SF, 20-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
vinf ¬ V Fin

Proof of Theorem vinf
StepHypRef Expression
1 noel 3554 . 2 ¬ Ncfin Spfin
2 spfinex 4537 . . . . . . . 8 Spfin V
3 ncfinprop 4474 . . . . . . . 8 ((V Fin Spfin V) → ( Ncfin Spfin Nn Spfin Ncfin Spfin ))
42, 3mpan2 652 . . . . . . 7 (V Fin → ( Ncfin Spfin Nn Spfin Ncfin Spfin ))
5 ne0i 3556 . . . . . . . 8 ( Spfin Ncfin SpfinNcfin Spfin)
65anim2i 552 . . . . . . 7 (( Ncfin Spfin Nn Spfin Ncfin Spfin ) → ( Ncfin Spfin Nn Ncfin Spfin))
74, 6syl 15 . . . . . 6 (V Fin → ( Ncfin Spfin Nn Ncfin Spfin))
8 eldifsn 3839 . . . . . 6 ( Ncfin Spfin ( Nn {}) ↔ ( Ncfin Spfin Nn Ncfin Spfin))
97, 8sylibr 203 . . . . 5 (V FinNcfin Spfin ( Nn {}))
10 evenoddnnnul 4514 . . . . 5 ( EvenfinOddfin ) = ( Nn {})
119, 10syl6eleqr 2444 . . . 4 (V FinNcfin Spfin ( EvenfinOddfin ))
12 vfinncsp 4554 . . . . . . . . . 10 (V FinNcfin Spfin = ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c))
1312adantr 451 . . . . . . . . 9 ((V Fin Ncfin Spfin Evenfin ) → Ncfin Spfin = ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c))
14 eventfin 4517 . . . . . . . . . . 11 ( Ncfin Spfin EvenfinTfin Ncfin Spfin Evenfin )
1514adantl 452 . . . . . . . . . 10 ((V Fin Ncfin Spfin Evenfin ) → Tfin Ncfin Spfin Evenfin )
16 evennnul 4508 . . . . . . . . . . . 12 ( Ncfin Spfin EvenfinNcfin Spfin)
1716adantl 452 . . . . . . . . . . 11 ((V Fin Ncfin Spfin Evenfin ) → Ncfin Spfin)
1813, 17eqnetrrd 2536 . . . . . . . . . 10 ((V Fin Ncfin Spfin Evenfin ) → ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c) ≠ )
19 sucevenodd 4510 . . . . . . . . . 10 (( Tfin Ncfin Spfin Evenfin ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c) ≠ ) → ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c) Oddfin )
2015, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . 9 ((V Fin Ncfin Spfin Evenfin ) → ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c) Oddfin )
2113, 20eqeltrd 2427 . . . . . . . 8 ((V Fin Ncfin Spfin Evenfin ) → Ncfin Spfin Oddfin )
2221ex 423 . . . . . . 7 (V Fin → ( Ncfin Spfin EvenfinNcfin Spfin Oddfin ))
2322ancld 536 . . . . . 6 (V Fin → ( Ncfin Spfin Evenfin → ( Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin Oddfin )))
2412adantr 451 . . . . . . . . 9 ((V Fin Ncfin Spfin Oddfin ) → Ncfin Spfin = ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c))
25 oddtfin 4518 . . . . . . . . . . 11 ( Ncfin Spfin OddfinTfin Ncfin Spfin Oddfin )
2625adantl 452 . . . . . . . . . 10 ((V Fin Ncfin Spfin Oddfin ) → Tfin Ncfin Spfin Oddfin )
27 oddnnul 4509 . . . . . . . . . . . 12 ( Ncfin Spfin OddfinNcfin Spfin)
2827adantl 452 . . . . . . . . . . 11 ((V Fin Ncfin Spfin Oddfin ) → Ncfin Spfin)
2924, 28eqnetrrd 2536 . . . . . . . . . 10 ((V Fin Ncfin Spfin Oddfin ) → ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c) ≠ )
30 sucoddeven 4511 . . . . . . . . . 10 (( Tfin Ncfin Spfin Oddfin ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c) ≠ ) → ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c) Evenfin )
3126, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . . . 9 ((V Fin Ncfin Spfin Oddfin ) → ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c) Evenfin )
3224, 31eqeltrd 2427 . . . . . . . 8 ((V Fin Ncfin Spfin Oddfin ) → Ncfin Spfin Evenfin )
3332ex 423 . . . . . . 7 (V Fin → ( Ncfin Spfin OddfinNcfin Spfin Evenfin ))
3433ancrd 537 . . . . . 6 (V Fin → ( Ncfin Spfin Oddfin → ( Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin Oddfin )))
3523, 34jaod 369 . . . . 5 (V Fin → (( Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin Oddfin ) → ( Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin Oddfin )))
36 elun 3220 . . . . 5 ( Ncfin Spfin ( EvenfinOddfin ) ↔ ( Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin Oddfin ))
37 elin 3219 . . . . 5 ( Ncfin Spfin ( EvenfinOddfin ) ↔ ( Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin Oddfin ))
3835, 36, 373imtr4g 261 . . . 4 (V Fin → ( Ncfin Spfin ( EvenfinOddfin ) → Ncfin Spfin ( EvenfinOddfin )))
3911, 38mpd 14 . . 3 (V FinNcfin Spfin ( EvenfinOddfin ))
40 evenodddisj 4516 . . 3 ( EvenfinOddfin ) =
4139, 40syl6eleq 2443 . 2 (V FinNcfin Spfin )
421, 41mto 167 1 ¬ V Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3   wo 357   wa 358   = wceq 1642   wcel 1710  wne 2516  Vcvv 2859   cdif 3206  cun 3207  cin 3208  c0 3550  {csn 3737  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373   +c cplc 4375   Fin cfin 4376   Ncfin cncfin 4433   Tfin ctfin 4434   Evenfin cevenfin 4435   Oddfin coddfin 4436   Spfin cspfin 4438
This theorem is referenced by:  nulnnn  4556
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4439  df-ltfin 4440  df-ncfin 4441  df-tfin 4442  df-evenfin 4443  df-oddfin 4444  df-sfin 4445  df-spfin 4446
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