QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  lem4.6.6i1j3 Unicode version

Theorem lem4.6.6i1j3 1092
Description: Equation 4.14 of [MegPav2000] p. 23. The variable i in the paper is set to 1, and j is set to 3. (Contributed by Roy F. Longton, 3-Jul-05.)
Assertion
Ref Expression
lem4.6.6i1j3 ((a ->1 b) v (a ->3 b)) = (a ->0 b)

Proof of Theorem lem4.6.6i1j3
StepHypRef Expression
1 leo 158 . . . . . . . 8 a' =< (a' v (a ^ b))
21ler 149 . . . . . . 7 a' =< ((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))
32lecom 180 . . . . . 6 a' C ((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))
43comcom6 459 . . . . 5 a C ((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))
54comcom 453 . . . 4 ((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) C a
6 lear 161 . . . . . . 7 (a ^ b) =< b
76lelor 166 . . . . . 6 (a' v (a ^ b)) =< (a' v b)
8 lea 160 . . . . . . . 8 (a' ^ b) =< a'
9 lea 160 . . . . . . . 8 (a' ^ b') =< a'
108, 9lel2or 170 . . . . . . 7 ((a' ^ b) v (a' ^ b')) =< a'
1110ler 149 . . . . . 6 ((a' ^ b) v (a' ^ b')) =< (a' v b)
127, 11lel2or 170 . . . . 5 ((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) =< (a' v b)
1312lecom 180 . . . 4 ((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) C (a' v b)
145, 13fh3 471 . . 3 (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v (a ^ (a' v b))) = ((((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v a) ^ (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v (a' v b)))
15 ax-a3 32 . . 3 (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v (a ^ (a' v b))) = ((a' v (a ^ b)) v (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))))
16 ax-a2 31 . . . . 5 (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v a) = (a v ((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))))
1716ran 78 . . . 4 ((((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v a) ^ (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v (a' v b))) = ((a v ((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))) ^ (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v (a' v b)))
18 ax-a3 32 . . . . . 6 ((a v (a' v (a ^ b))) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) = (a v ((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))))
1918ax-r1 35 . . . . 5 (a v ((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))) = ((a v (a' v (a ^ b))) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))
2019ran 78 . . . 4 ((a v ((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))) ^ (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v (a' v b))) = (((a v (a' v (a ^ b))) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) ^ (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v (a' v b)))
21 ax-a3 32 . . . . . . . 8 ((a v a') v (a ^ b)) = (a v (a' v (a ^ b)))
2221ax-r1 35 . . . . . . 7 (a v (a' v (a ^ b))) = ((a v a') v (a ^ b))
2322ax-r5 38 . . . . . 6 ((a v (a' v (a ^ b))) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) = (((a v a') v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))
2423ran 78 . . . . 5 (((a v (a' v (a ^ b))) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) ^ (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v (a' v b))) = ((((a v a') v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) ^ (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v (a' v b)))
25 ax-a4 33 . . . . . . . . . 10 (1 v (a v a')) = (a v a')
2625df-le1 130 . . . . . . . . 9 1 =< (a v a')
2726ler 149 . . . . . . . 8 1 =< ((a v a') v (a ^ b))
2827ler 149 . . . . . . 7 1 =< (((a v a') v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b')))
2928lem3.3.5lem 1054 . . . . . 6 (((a v a') v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) = 1
3029ran 78 . . . . 5 ((((a v a') v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) ^ (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v (a' v b))) = (1 ^ (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v (a' v b)))
31 an1r 107 . . . . . 6 (1 ^ (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v (a' v b))) = (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v (a' v b))
32 ax-a2 31 . . . . . . 7 ((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) = (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a' v (a ^ b)))
3332ax-r5 38 . . . . . 6 (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v (a' v b)) = ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a' v (a ^ b))) v (a' v b))
34 ax-a3 32 . . . . . . 7 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a' v (a ^ b))) v (a' v b)) = (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v ((a' v (a ^ b)) v (a' v b)))
35 orordi 112 . . . . . . . . . 10 (a' v ((a ^ b) v b)) = ((a' v (a ^ b)) v (a' v b))
3635ax-r1 35 . . . . . . . . 9 ((a' v (a ^ b)) v (a' v b)) = (a' v ((a ^ b) v b))
3736lor 70 . . . . . . . 8 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v ((a' v (a ^ b)) v (a' v b))) = (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a' v ((a ^ b) v b)))
386df-le2 131 . . . . . . . . . 10 ((a ^ b) v b) = b
3938lor 70 . . . . . . . . 9 (a' v ((a ^ b) v b)) = (a' v b)
4039lor 70 . . . . . . . 8 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a' v ((a ^ b) v b))) = (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a' v b))
4111df-le2 131 . . . . . . . 8 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a' v b)) = (a' v b)
4237, 40, 413tr 65 . . . . . . 7 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v ((a' v (a ^ b)) v (a' v b))) = (a' v b)
4334, 42ax-r2 36 . . . . . 6 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a' v (a ^ b))) v (a' v b)) = (a' v b)
4431, 33, 433tr 65 . . . . 5 (1 ^ (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v (a' v b))) = (a' v b)
4524, 30, 443tr 65 . . . 4 (((a v (a' v (a ^ b))) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) ^ (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v (a' v b))) = (a' v b)
4617, 20, 453tr 65 . . 3 ((((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v a) ^ (((a' v (a ^ b)) v ((a' ^ b) v (a' ^ b'))) v (a' v b))) = (a' v b)
4714, 15, 463tr2 64 . 2 ((a' v (a ^ b)) v (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b)))) = (a' v b)
48 df-i1 44 . . 3 (a ->1 b) = (a' v (a ^ b))
49 df-i3 46 . . 3 (a ->3 b) = (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b)))
5048, 492or 72 . 2 ((a ->1 b) v (a ->3 b)) = ((a' v (a ^ b)) v (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))))
51 df-i0 43 . 2 (a ->0 b) = (a' v b)
5247, 50, 513tr1 63 1 ((a ->1 b) v (a ->3 b)) = (a ->0 b)
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8   ->0 wi0 11   ->1 wi1 12   ->3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i0 43  df-i1 44  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
  Copyright terms: Public domain W3C validator