QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  u3lemaa Unicode version

Theorem u3lemaa 602
Description: Lemma for Kalmbach implication study.
Assertion
Ref Expression
u3lemaa ((a ->3 b) ^ a) = (a ^ (a' v b))

Proof of Theorem u3lemaa
StepHypRef Expression
1 df-i3 46 . . 3 (a ->3 b) = (((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b)))
21ran 78 . 2 ((a ->3 b) ^ a) = ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ a)
3 comanr1 464 . . . . . 6 a' C (a' ^ b)
43comcom6 459 . . . . 5 a C (a' ^ b)
5 comanr1 464 . . . . . 6 a' C (a' ^ b')
65comcom6 459 . . . . 5 a C (a' ^ b')
74, 6com2or 483 . . . 4 a C ((a' ^ b) v (a' ^ b'))
8 comid 187 . . . . 5 a C a
9 comorr 184 . . . . . 6 a' C (a' v b)
109comcom6 459 . . . . 5 a C (a' v b)
118, 10com2an 484 . . . 4 a C (a ^ (a' v b))
127, 11fh1r 473 . . 3 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ a) = ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ a) v ((a ^ (a' v b)) ^ a))
134, 6fh1r 473 . . . . . 6 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ a) = (((a' ^ b) ^ a) v ((a' ^ b') ^ a))
14 ancom 74 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) ^ a) = (a ^ (a' ^ b))
15 anass 76 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ a') ^ b) = (a ^ (a' ^ b))
1615ax-r1 35 . . . . . . . . . 10 (a ^ (a' ^ b)) = ((a ^ a') ^ b)
17 ancom 74 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ a') ^ b) = (b ^ (a ^ a'))
18 dff 101 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (a ^ a')
1918ax-r1 35 . . . . . . . . . . . . 13 (a ^ a') = 0
2019lan 77 . . . . . . . . . . . 12 (b ^ (a ^ a')) = (b ^ 0)
21 an0 108 . . . . . . . . . . . 12 (b ^ 0) = 0
2220, 21ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 (b ^ (a ^ a')) = 0
2317, 22ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((a ^ a') ^ b) = 0
2416, 23ax-r2 36 . . . . . . . . 9 (a ^ (a' ^ b)) = 0
2514, 24ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' ^ b) ^ a) = 0
26 ancom 74 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b') ^ a) = (a ^ (a' ^ b'))
27 anass 76 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ a') ^ b') = (a ^ (a' ^ b'))
2827ax-r1 35 . . . . . . . . . 10 (a ^ (a' ^ b')) = ((a ^ a') ^ b')
29 ancom 74 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ a') ^ b') = (b' ^ (a ^ a'))
3019lan 77 . . . . . . . . . . . 12 (b' ^ (a ^ a')) = (b' ^ 0)
31 an0 108 . . . . . . . . . . . 12 (b' ^ 0) = 0
3230, 31ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 (b' ^ (a ^ a')) = 0
3329, 32ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((a ^ a') ^ b') = 0
3428, 33ax-r2 36 . . . . . . . . 9 (a ^ (a' ^ b')) = 0
3526, 34ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' ^ b') ^ a) = 0
3625, 352or 72 . . . . . . 7 (((a' ^ b) ^ a) v ((a' ^ b') ^ a)) = (0 v 0)
37 or0 102 . . . . . . 7 (0 v 0) = 0
3836, 37ax-r2 36 . . . . . 6 (((a' ^ b) ^ a) v ((a' ^ b') ^ a)) = 0
3913, 38ax-r2 36 . . . . 5 (((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ a) = 0
40 an32 83 . . . . . 6 ((a ^ (a' v b)) ^ a) = ((a ^ a) ^ (a' v b))
41 anidm 111 . . . . . . 7 (a ^ a) = a
4241ran 78 . . . . . 6 ((a ^ a) ^ (a' v b)) = (a ^ (a' v b))
4340, 42ax-r2 36 . . . . 5 ((a ^ (a' v b)) ^ a) = (a ^ (a' v b))
4439, 432or 72 . . . 4 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ a) v ((a ^ (a' v b)) ^ a)) = (0 v (a ^ (a' v b)))
45 ax-a2 31 . . . . 5 (0 v (a ^ (a' v b))) = ((a ^ (a' v b)) v 0)
46 or0 102 . . . . 5 ((a ^ (a' v b)) v 0) = (a ^ (a' v b))
4745, 46ax-r2 36 . . . 4 (0 v (a ^ (a' v b))) = (a ^ (a' v b))
4844, 47ax-r2 36 . . 3 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) ^ a) v ((a ^ (a' v b)) ^ a)) = (a ^ (a' v b))
4912, 48ax-r2 36 . 2 ((((a' ^ b) v (a' ^ b')) v (a ^ (a' v b))) ^ a) = (a ^ (a' v b))
502, 49ax-r2 36 1 ((a ->3 b) ^ a) = (a ^ (a' v b))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->3 wi3 14
This theorem is referenced by:  u3lemnona  667  u3lem13b  790
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
  Copyright terms: Public domain W3C validator