QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  ud1lem1 Unicode version

Theorem ud1lem1 560
Description: Lemma for unified disjunction.
Assertion
Ref Expression
ud1lem1 ((a ->1 b) ->1 (b ->1 a)) = (a v (a' ^ b'))

Proof of Theorem ud1lem1
StepHypRef Expression
1 df-i1 44 . 2 ((a ->1 b) ->1 (b ->1 a)) = ((a ->1 b)' v ((a ->1 b) ^ (b ->1 a)))
2 ud1lem0c 277 . . . 4 (a ->1 b)' = (a ^ (a' v b'))
3 df-i1 44 . . . . 5 (a ->1 b) = (a' v (a ^ b))
4 df-i1 44 . . . . 5 (b ->1 a) = (b' v (b ^ a))
53, 42an 79 . . . 4 ((a ->1 b) ^ (b ->1 a)) = ((a' v (a ^ b)) ^ (b' v (b ^ a)))
62, 52or 72 . . 3 ((a ->1 b)' v ((a ->1 b) ^ (b ->1 a))) = ((a ^ (a' v b')) v ((a' v (a ^ b)) ^ (b' v (b ^ a))))
7 ancom 74 . . . . . . . 8 (b ^ a) = (a ^ b)
87lor 70 . . . . . . 7 (b' v (b ^ a)) = (b' v (a ^ b))
98lan 77 . . . . . 6 ((a' v (a ^ b)) ^ (b' v (b ^ a))) = ((a' v (a ^ b)) ^ (b' v (a ^ b)))
10 coman1 185 . . . . . . . . 9 (a ^ b) C a
1110comcom2 183 . . . . . . . 8 (a ^ b) C a'
12 coman2 186 . . . . . . . . 9 (a ^ b) C b
1312comcom2 183 . . . . . . . 8 (a ^ b) C b'
1411, 13fh3r 475 . . . . . . 7 ((a' ^ b') v (a ^ b)) = ((a' v (a ^ b)) ^ (b' v (a ^ b)))
1514ax-r1 35 . . . . . 6 ((a' v (a ^ b)) ^ (b' v (a ^ b))) = ((a' ^ b') v (a ^ b))
169, 15ax-r2 36 . . . . 5 ((a' v (a ^ b)) ^ (b' v (b ^ a))) = ((a' ^ b') v (a ^ b))
1716lor 70 . . . 4 ((a ^ (a' v b')) v ((a' v (a ^ b)) ^ (b' v (b ^ a)))) = ((a ^ (a' v b')) v ((a' ^ b') v (a ^ b)))
18 or12 80 . . . . 5 ((a ^ (a' v b')) v ((a' ^ b') v (a ^ b))) = ((a' ^ b') v ((a ^ (a' v b')) v (a ^ b)))
1910comcom 453 . . . . . . . 8 a C (a ^ b)
20 comorr 184 . . . . . . . . . 10 a' C (a' v b')
2120comcom2 183 . . . . . . . . 9 a' C (a' v b')'
2221comcom5 458 . . . . . . . 8 a C (a' v b')
2319, 22fh4r 476 . . . . . . 7 ((a ^ (a' v b')) v (a ^ b)) = ((a v (a ^ b)) ^ ((a' v b') v (a ^ b)))
2423lor 70 . . . . . 6 ((a' ^ b') v ((a ^ (a' v b')) v (a ^ b))) = ((a' ^ b') v ((a v (a ^ b)) ^ ((a' v b') v (a ^ b))))
25 orabs 120 . . . . . . . . . 10 (a v (a ^ b)) = a
26 df-a 40 . . . . . . . . . . . 12 (a ^ b) = (a' v b')'
2726lor 70 . . . . . . . . . . 11 ((a' v b') v (a ^ b)) = ((a' v b') v (a' v b')')
28 df-t 41 . . . . . . . . . . . 12 1 = ((a' v b') v (a' v b')')
2928ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 ((a' v b') v (a' v b')') = 1
3027, 29ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((a' v b') v (a ^ b)) = 1
3125, 302an 79 . . . . . . . . 9 ((a v (a ^ b)) ^ ((a' v b') v (a ^ b))) = (a ^ 1)
32 an1 106 . . . . . . . . 9 (a ^ 1) = a
3331, 32ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a v (a ^ b)) ^ ((a' v b') v (a ^ b))) = a
3433lor 70 . . . . . . 7 ((a' ^ b') v ((a v (a ^ b)) ^ ((a' v b') v (a ^ b)))) = ((a' ^ b') v a)
35 ax-a2 31 . . . . . . 7 ((a' ^ b') v a) = (a v (a' ^ b'))
3634, 35ax-r2 36 . . . . . 6 ((a' ^ b') v ((a v (a ^ b)) ^ ((a' v b') v (a ^ b)))) = (a v (a' ^ b'))
3724, 36ax-r2 36 . . . . 5 ((a' ^ b') v ((a ^ (a' v b')) v (a ^ b))) = (a v (a' ^ b'))
3818, 37ax-r2 36 . . . 4 ((a ^ (a' v b')) v ((a' ^ b') v (a ^ b))) = (a v (a' ^ b'))
3917, 38ax-r2 36 . . 3 ((a ^ (a' v b')) v ((a' v (a ^ b)) ^ (b' v (b ^ a)))) = (a v (a' ^ b'))
406, 39ax-r2 36 . 2 ((a ->1 b)' v ((a ->1 b) ^ (b ->1 a))) = (a v (a' ^ b'))
411, 40ax-r2 36 1 ((a ->1 b) ->1 (b ->1 a)) = (a v (a' ^ b'))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  1wt 8   ->1 wi1 12
This theorem is referenced by:  ud1  595
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i1 44  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
  Copyright terms: Public domain W3C validator