QLE Home Quantum Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  QLE Home  >  Th. List  >  ud5lem3a Unicode version

Theorem ud5lem3a 591
Description: Lemma for unified disjunction.
Assertion
Ref Expression
ud5lem3a ((a ->5 b) ^ (a v (a' ^ b))) = ((a ^ b) v (a' ^ b))

Proof of Theorem ud5lem3a
StepHypRef Expression
1 df-i5 48 . . 3 (a ->5 b) = (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b'))
21ran 78 . 2 ((a ->5 b) ^ (a v (a' ^ b))) = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ (a v (a' ^ b)))
3 comanr1 464 . . . . . 6 a C (a ^ b)
4 comanr1 464 . . . . . . 7 a' C (a' ^ b)
54comcom6 459 . . . . . 6 a C (a' ^ b)
63, 5com2or 483 . . . . 5 a C ((a ^ b) v (a' ^ b))
7 comanr1 464 . . . . . 6 a' C (a' ^ b')
87comcom6 459 . . . . 5 a C (a' ^ b')
96, 8com2or 483 . . . 4 a C (((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b'))
109, 5fh2 470 . . 3 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ (a v (a' ^ b))) = (((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ a) v ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ (a' ^ b)))
116, 8fh1r 473 . . . . . 6 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ a) = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a) v ((a' ^ b') ^ a))
123, 5fh1r 473 . . . . . . . . 9 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a) = (((a ^ b) ^ a) v ((a' ^ b) ^ a))
13 an32 83 . . . . . . . . . . . 12 ((a ^ b) ^ a) = ((a ^ a) ^ b)
14 anidm 111 . . . . . . . . . . . . 13 (a ^ a) = a
1514ran 78 . . . . . . . . . . . 12 ((a ^ a) ^ b) = (a ^ b)
1613, 15ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ b) ^ a) = (a ^ b)
17 ancom 74 . . . . . . . . . . . 12 ((a' ^ b) ^ a) = (a ^ (a' ^ b))
18 anass 76 . . . . . . . . . . . . . 14 ((a ^ a') ^ b) = (a ^ (a' ^ b))
1918ax-r1 35 . . . . . . . . . . . . 13 (a ^ (a' ^ b)) = ((a ^ a') ^ b)
20 dff 101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (a ^ a')
2120ax-r1 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 (a ^ a') = 0
2221ran 78 . . . . . . . . . . . . . 14 ((a ^ a') ^ b) = (0 ^ b)
23 an0r 109 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ^ b) = 0
2422, 23ax-r2 36 . . . . . . . . . . . . 13 ((a ^ a') ^ b) = 0
2519, 24ax-r2 36 . . . . . . . . . . . 12 (a ^ (a' ^ b)) = 0
2617, 25ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 ((a' ^ b) ^ a) = 0
2716, 262or 72 . . . . . . . . . 10 (((a ^ b) ^ a) v ((a' ^ b) ^ a)) = ((a ^ b) v 0)
28 or0 102 . . . . . . . . . 10 ((a ^ b) v 0) = (a ^ b)
2927, 28ax-r2 36 . . . . . . . . 9 (((a ^ b) ^ a) v ((a' ^ b) ^ a)) = (a ^ b)
3012, 29ax-r2 36 . . . . . . . 8 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a) = (a ^ b)
31 ancom 74 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b') ^ a) = (a ^ (a' ^ b'))
32 anass 76 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ a') ^ b') = (a ^ (a' ^ b'))
3332ax-r1 35 . . . . . . . . . 10 (a ^ (a' ^ b')) = ((a ^ a') ^ b')
3421ran 78 . . . . . . . . . . 11 ((a ^ a') ^ b') = (0 ^ b')
35 an0r 109 . . . . . . . . . . 11 (0 ^ b') = 0
3634, 35ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((a ^ a') ^ b') = 0
3733, 36ax-r2 36 . . . . . . . . 9 (a ^ (a' ^ b')) = 0
3831, 37ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' ^ b') ^ a) = 0
3930, 382or 72 . . . . . . 7 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a) v ((a' ^ b') ^ a)) = ((a ^ b) v 0)
4039, 28ax-r2 36 . . . . . 6 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ a) v ((a' ^ b') ^ a)) = (a ^ b)
4111, 40ax-r2 36 . . . . 5 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ a) = (a ^ b)
42 coman1 185 . . . . . . . . 9 (a' ^ b) C a'
4342comcom7 460 . . . . . . . 8 (a' ^ b) C a
44 coman2 186 . . . . . . . 8 (a' ^ b) C b
4543, 44com2an 484 . . . . . . 7 (a' ^ b) C (a ^ b)
4642, 44com2an 484 . . . . . . 7 (a' ^ b) C (a' ^ b)
4745, 46com2or 483 . . . . . 6 (a' ^ b) C ((a ^ b) v (a' ^ b))
4844comcom2 183 . . . . . . 7 (a' ^ b) C b'
4942, 48com2an 484 . . . . . 6 (a' ^ b) C (a' ^ b')
5047, 49fh1r 473 . . . . 5 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ (a' ^ b)) = ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ (a' ^ b)) v ((a' ^ b') ^ (a' ^ b)))
5141, 502or 72 . . . 4 (((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ a) v ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ (a' ^ b))) = ((a ^ b) v ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ (a' ^ b)) v ((a' ^ b') ^ (a' ^ b))))
52 ancom 74 . . . . . . . 8 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ (a' ^ b)) = ((a' ^ b) ^ ((a ^ b) v (a' ^ b)))
53 ax-a2 31 . . . . . . . . . 10 ((a ^ b) v (a' ^ b)) = ((a' ^ b) v (a ^ b))
5453lan 77 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) ^ ((a ^ b) v (a' ^ b))) = ((a' ^ b) ^ ((a' ^ b) v (a ^ b)))
55 anabs 121 . . . . . . . . 9 ((a' ^ b) ^ ((a' ^ b) v (a ^ b))) = (a' ^ b)
5654, 55ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' ^ b) ^ ((a ^ b) v (a' ^ b))) = (a' ^ b)
5752, 56ax-r2 36 . . . . . . 7 (((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ (a' ^ b)) = (a' ^ b)
58 an4 86 . . . . . . . 8 ((a' ^ b') ^ (a' ^ b)) = ((a' ^ a') ^ (b' ^ b))
59 ancom 74 . . . . . . . . . . 11 (b' ^ b) = (b ^ b')
60 dff 101 . . . . . . . . . . . 12 0 = (b ^ b')
6160ax-r1 35 . . . . . . . . . . 11 (b ^ b') = 0
6259, 61ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 (b' ^ b) = 0
6362lan 77 . . . . . . . . 9 ((a' ^ a') ^ (b' ^ b)) = ((a' ^ a') ^ 0)
64 an0 108 . . . . . . . . 9 ((a' ^ a') ^ 0) = 0
6563, 64ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((a' ^ a') ^ (b' ^ b)) = 0
6658, 65ax-r2 36 . . . . . . 7 ((a' ^ b') ^ (a' ^ b)) = 0
6757, 662or 72 . . . . . 6 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ (a' ^ b)) v ((a' ^ b') ^ (a' ^ b))) = ((a' ^ b) v 0)
68 or0 102 . . . . . 6 ((a' ^ b) v 0) = (a' ^ b)
6967, 68ax-r2 36 . . . . 5 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ (a' ^ b)) v ((a' ^ b') ^ (a' ^ b))) = (a' ^ b)
7069lor 70 . . . 4 ((a ^ b) v ((((a ^ b) v (a' ^ b)) ^ (a' ^ b)) v ((a' ^ b') ^ (a' ^ b)))) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
7151, 70ax-r2 36 . . 3 (((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ a) v ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ (a' ^ b))) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
7210, 71ax-r2 36 . 2 ((((a ^ b) v (a' ^ b)) v (a' ^ b')) ^ (a v (a' ^ b))) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
732, 72ax-r2 36 1 ((a ->5 b) ^ (a v (a' ^ b))) = ((a ^ b) v (a' ^ b))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1  'wn 4   v wo 6   ^ wa 7  0wf 9   ->5 wi5 16
This theorem is referenced by:  ud5lem3  594
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i5 48  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
  Copyright terms: Public domain W3C validator