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Theorem gomaex4 900
 Description: Proof of Mayet Example 4 from 4-variable Godowski equation. R. Mayet, "Equational bases for some varieties of orthomodular lattices related to states," Algebra Universalis 23 (1986), 167-195.
Hypotheses
Ref Expression
go2n4.1 ab
go2n4.2 bc
go2n4.3 cd
go2n4.4 de
go2n4.5 ef
go2n4.6 fg
go2n4.7 gh
go2n4.8 ha
gomaex4.9 (((a2 g) ∩ (g2 e)) ∩ ((e2 c) ∩ (c2 a))) ≤ (g2 a)
gomaex4.10 (((e2 c) ∩ (c2 a)) ∩ ((a2 g) ∩ (g2 e))) ≤ (c2 e)
Assertion
Ref Expression
gomaex4 ((((ab) ∩ (cd)) ∩ ((ef) ∩ (gh))) ∩ ((ah) →1 (de) )) = 0

Proof of Theorem gomaex4
StepHypRef Expression
1 go2n4.7 . . . . . . 7 gh
2 go2n4.8 . . . . . . 7 ha
3 go2n4.1 . . . . . . 7 ab
4 go2n4.2 . . . . . . 7 bc
5 go2n4.3 . . . . . . 7 cd
6 go2n4.4 . . . . . . 7 de
7 go2n4.5 . . . . . . 7 ef
8 go2n4.6 . . . . . . 7 fg
9 gomaex4.9 . . . . . . 7 (((a2 g) ∩ (g2 e)) ∩ ((e2 c) ∩ (c2 a))) ≤ (g2 a)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9go2n4 899 . . . . . 6 (((gh) ∩ (ab)) ∩ ((cd) ∩ (ef))) ≤ (ha)
11 an4 86 . . . . . . 7 (((ab) ∩ (cd)) ∩ ((ef) ∩ (gh))) = (((ab) ∩ (ef)) ∩ ((cd) ∩ (gh)))
12 ancom 74 . . . . . . . 8 (((ab) ∩ (ef)) ∩ ((cd) ∩ (gh))) = (((cd) ∩ (gh)) ∩ ((ab) ∩ (ef)))
13 ancom 74 . . . . . . . . 9 ((cd) ∩ (gh)) = ((gh) ∩ (cd))
1413ran 78 . . . . . . . 8 (((cd) ∩ (gh)) ∩ ((ab) ∩ (ef))) = (((gh) ∩ (cd)) ∩ ((ab) ∩ (ef)))
1512, 14ax-r2 36 . . . . . . 7 (((ab) ∩ (ef)) ∩ ((cd) ∩ (gh))) = (((gh) ∩ (cd)) ∩ ((ab) ∩ (ef)))
16 an4 86 . . . . . . 7 (((gh) ∩ (cd)) ∩ ((ab) ∩ (ef))) = (((gh) ∩ (ab)) ∩ ((cd) ∩ (ef)))
1711, 15, 163tr 65 . . . . . 6 (((ab) ∩ (cd)) ∩ ((ef) ∩ (gh))) = (((gh) ∩ (ab)) ∩ ((cd) ∩ (ef)))
18 ax-a2 31 . . . . . 6 (ah) = (ha)
1910, 17, 18le3tr1 140 . . . . 5 (((ab) ∩ (cd)) ∩ ((ef) ∩ (gh))) ≤ (ah)
20 ancom 74 . . . . . . . . 9 ((ef) ∩ (gh)) = ((gh) ∩ (ef))
2120lan 77 . . . . . . . 8 (((ab) ∩ (cd)) ∩ ((ef) ∩ (gh))) = (((ab) ∩ (cd)) ∩ ((gh) ∩ (ef)))
22 an4 86 . . . . . . . 8 (((ab) ∩ (cd)) ∩ ((gh) ∩ (ef))) = (((ab) ∩ (gh)) ∩ ((cd) ∩ (ef)))
23 ancom 74 . . . . . . . . 9 ((cd) ∩ (ef)) = ((ef) ∩ (cd))
2423lan 77 . . . . . . . 8 (((ab) ∩ (gh)) ∩ ((cd) ∩ (ef))) = (((ab) ∩ (gh)) ∩ ((ef) ∩ (cd)))
2521, 22, 243tr 65 . . . . . . 7 (((ab) ∩ (cd)) ∩ ((ef) ∩ (gh))) = (((ab) ∩ (gh)) ∩ ((ef) ∩ (cd)))
26 ancom 74 . . . . . . . 8 ((ab) ∩ (gh)) = ((gh) ∩ (ab))
27 ancom 74 . . . . . . . 8 ((ef) ∩ (cd)) = ((cd) ∩ (ef))
2826, 272an 79 . . . . . . 7 (((ab) ∩ (gh)) ∩ ((ef) ∩ (cd))) = (((gh) ∩ (ab)) ∩ ((cd) ∩ (ef)))
29 ancom 74 . . . . . . 7 (((gh) ∩ (ab)) ∩ ((cd) ∩ (ef))) = (((cd) ∩ (ef)) ∩ ((gh) ∩ (ab)))
3025, 28, 293tr 65 . . . . . 6 (((ab) ∩ (cd)) ∩ ((ef) ∩ (gh))) = (((cd) ∩ (ef)) ∩ ((gh) ∩ (ab)))
31 gomaex4.10 . . . . . . 7 (((e2 c) ∩ (c2 a)) ∩ ((a2 g) ∩ (g2 e))) ≤ (c2 e)
325, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 31go2n4 899 . . . . . 6 (((cd) ∩ (ef)) ∩ ((gh) ∩ (ab))) ≤ (de)
3330, 32bltr 138 . . . . 5 (((ab) ∩ (cd)) ∩ ((ef) ∩ (gh))) ≤ (de)
3419, 33ler2an 173 . . . 4 (((ab) ∩ (cd)) ∩ ((ef) ∩ (gh))) ≤ ((ah) ∩ (de))
3534leran 153 . . 3 ((((ab) ∩ (cd)) ∩ ((ef) ∩ (gh))) ∩ ((ah) →1 (de) )) ≤ (((ah) ∩ (de)) ∩ ((ah) →1 (de) ))
36 go1 343 . . 3 (((ah) ∩ (de)) ∩ ((ah) →1 (de) )) = 0
3735, 36lbtr 139 . 2 ((((ab) ∩ (cd)) ∩ ((ef) ∩ (gh))) ∩ ((ah) →1 (de) )) ≤ 0
38 le0 147 . 2 0 ≤ ((((ab) ∩ (cd)) ∩ ((ef) ∩ (gh))) ∩ ((ah) →1 (de) ))
3937, 38lebi 145 1 ((((ab) ∩ (cd)) ∩ ((ef) ∩ (gh))) ∩ ((ah) →1 (de) )) = 0
 Colors of variables: term Syntax hints:   = wb 1   ≤ wle 2  ⊥ wn 4   ∪ wo 6   ∩ wa 7  0wf 9   →1 wi1 12   →2 wi2 13 This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439 This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i1 44  df-i2 45  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133 This theorem is referenced by: (None)
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