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Theorem ka4lemo 228
Description: Lemma for KA4 soundness (OR version) - uses OL only. (Contributed by NM, 25-Oct-1997.)
Assertion
Ref Expression
ka4lemo ((ab) ∪ ((ac) ≡ (bc))) = 1

Proof of Theorem ka4lemo
StepHypRef Expression
1 le1 146 . 2 ((ab) ∪ ((ac) ≡ (bc))) ≤ 1
2 df-t 41 . . 3 1 = (((ab) ∪ c) ∪ ((ab) ∪ c) )
3 leo 158 . . . . . . 7 c ≤ (c ∪ (ab))
4 ax-a2 31 . . . . . . 7 (c ∪ (ab)) = ((ab) ∪ c)
53, 4lbtr 139 . . . . . 6 c ≤ ((ab) ∪ c)
65lelor 166 . . . . 5 ((ab) ∪ c) ≤ ((ab) ∪ ((ab) ∪ c))
76leror 152 . . . 4 (((ab) ∪ c) ∪ ((ab) ∪ c) ) ≤ (((ab) ∪ ((ab) ∪ c)) ∪ ((ab) ∪ c) )
8 ax-a3 32 . . . . 5 (((ab) ∪ ((ab) ∪ c)) ∪ ((ab) ∪ c) ) = ((ab) ∪ (((ab) ∪ c) ∪ ((ab) ∪ c) ))
9 ledio 176 . . . . . . . . 9 (c ∪ (ab)) ≤ ((ca) ∩ (cb))
10 ax-a2 31 . . . . . . . . 9 ((ab) ∪ c) = (c ∪ (ab))
11 ax-a2 31 . . . . . . . . . 10 (ac) = (ca)
12 ax-a2 31 . . . . . . . . . 10 (bc) = (cb)
1311, 122an 79 . . . . . . . . 9 ((ac) ∩ (bc)) = ((ca) ∩ (cb))
149, 10, 13le3tr1 140 . . . . . . . 8 ((ab) ∪ c) ≤ ((ac) ∩ (bc))
1514leror 152 . . . . . . 7 (((ab) ∪ c) ∪ ((ab) ∪ c) ) ≤ (((ac) ∩ (bc)) ∪ ((ab) ∪ c) )
16 dfb 94 . . . . . . . . 9 ((ac) ≡ (bc)) = (((ac) ∩ (bc)) ∪ ((ac) ∩ (bc) ))
17 oran 87 . . . . . . . . . . . . 13 (ac) = (ac )
1817con2 67 . . . . . . . . . . . 12 (ac) = (ac )
19 oran 87 . . . . . . . . . . . . 13 (bc) = (bc )
2019con2 67 . . . . . . . . . . . 12 (bc) = (bc )
2118, 202an 79 . . . . . . . . . . 11 ((ac) ∩ (bc) ) = ((ac ) ∩ (bc ))
22 anor1 88 . . . . . . . . . . . 12 ((ab ) ∩ c ) = ((ab )c)
23 anandir 115 . . . . . . . . . . . . 13 ((ab ) ∩ c ) = ((ac ) ∩ (bc ))
2423ax-r1 35 . . . . . . . . . . . 12 ((ac ) ∩ (bc )) = ((ab ) ∩ c )
25 oran 87 . . . . . . . . . . . . . 14 (ab) = (ab )
2625ax-r5 38 . . . . . . . . . . . . 13 ((ab) ∪ c) = ((ab )c)
2726ax-r4 37 . . . . . . . . . . . 12 ((ab) ∪ c) = ((ab )c)
2822, 24, 273tr1 63 . . . . . . . . . . 11 ((ac ) ∩ (bc )) = ((ab) ∪ c)
2921, 28ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((ac) ∩ (bc) ) = ((ab) ∪ c)
3029lor 70 . . . . . . . . 9 (((ac) ∩ (bc)) ∪ ((ac) ∩ (bc) )) = (((ac) ∩ (bc)) ∪ ((ab) ∪ c) )
3116, 30ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((ac) ≡ (bc)) = (((ac) ∩ (bc)) ∪ ((ab) ∪ c) )
3231ax-r1 35 . . . . . . 7 (((ac) ∩ (bc)) ∪ ((ab) ∪ c) ) = ((ac) ≡ (bc))
3315, 32lbtr 139 . . . . . 6 (((ab) ∪ c) ∪ ((ab) ∪ c) ) ≤ ((ac) ≡ (bc))
3433lelor 166 . . . . 5 ((ab) ∪ (((ab) ∪ c) ∪ ((ab) ∪ c) )) ≤ ((ab) ∪ ((ac) ≡ (bc)))
358, 34bltr 138 . . . 4 (((ab) ∪ ((ab) ∪ c)) ∪ ((ab) ∪ c) ) ≤ ((ab) ∪ ((ac) ≡ (bc)))
367, 35letr 137 . . 3 (((ab) ∪ c) ∪ ((ab) ∪ c) ) ≤ ((ab) ∪ ((ac) ≡ (bc)))
372, 36bltr 138 . 2 1 ≤ ((ab) ∪ ((ac) ≡ (bc)))
381, 37lebi 145 1 ((ab) ∪ ((ac) ≡ (bc))) = 1
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1   wn 4  tb 5  wo 6  wa 7  1wt 8
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-le1 130  df-le2 131
This theorem is referenced by:  ka4lem  229  ka4ot  435
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