Theorem mlaconj 845

Description: For 5GO proof of Mladen's conjecture. (Contributed by NM, 20-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
mlaconj	((a ≡ b) ∩ ((a ≡ c) ∪ (b ≡ c))) ≤ ((((a →1 (a ∩ b)) ∩ ((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c))) ∩ ((((a ∩ b) ∪ c) →1 c) ∩ (c →1 (a ∪ b)))) ∩ ((a ∪ b) →1 a))

Proof of Theorem mlaconj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orbile 843	. . 3 ((a ≡ c) ∪ (b ≡ c)) ≤ (((a ∩ b) →2 c) ∩ (c →1 (a ∪ b)))
2	1	lelan 167	. 2 ((a ≡ b) ∩ ((a ≡ c) ∪ (b ≡ c))) ≤ ((a ≡ b) ∩ (((a ∩ b) →2 c) ∩ (c →1 (a ∪ b))))
3		ancom 74	. . . . . 6 (((a ∪ b) →1 a) ∩ ((((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((a ∩ b) ∪ c) →1 c)) ∩ (c →1 (a ∪ b)))) = (((((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((a ∩ b) ∪ c) →1 c)) ∩ (c →1 (a ∪ b))) ∩ ((a ∪ b) →1 a))
4		id 59	. . . . . . . . 9 (((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((a ∩ b) ∪ c) →1 c)) = (((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((a ∩ b) ∪ c) →1 c))
5	4	ran 78	. . . . . . . 8 ((((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((a ∩ b) ∪ c) →1 c)) ∩ (c →1 (a ∪ b))) = ((((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((a ∩ b) ∪ c) →1 c)) ∩ (c →1 (a ∪ b)))
6		anass 76	. . . . . . . 8 ((((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((a ∩ b) ∪ c) →1 c)) ∩ (c →1 (a ∪ b))) = (((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ ((((a ∩ b) ∪ c) →1 c) ∩ (c →1 (a ∪ b))))
7	5, 6	ax-r2 36	. . . . . . 7 ((((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((a ∩ b) ∪ c) →1 c)) ∩ (c →1 (a ∪ b))) = (((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ ((((a ∩ b) ∪ c) →1 c) ∩ (c →1 (a ∪ b))))
8	7	ran 78	. . . . . 6 (((((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((a ∩ b) ∪ c) →1 c)) ∩ (c →1 (a ∪ b))) ∩ ((a ∪ b) →1 a)) = ((((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ ((((a ∩ b) ∪ c) →1 c) ∩ (c →1 (a ∪ b)))) ∩ ((a ∪ b) →1 a))
9		anass 76	. . . . . 6 ((((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ ((((a ∩ b) ∪ c) →1 c) ∩ (c →1 (a ∪ b)))) ∩ ((a ∪ b) →1 a)) = (((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((((a ∩ b) ∪ c) →1 c) ∩ (c →1 (a ∪ b))) ∩ ((a ∪ b) →1 a)))
10	3, 8, 9	3tr 65	. . . . 5 (((a ∪ b) →1 a) ∩ ((((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((a ∩ b) ∪ c) →1 c)) ∩ (c →1 (a ∪ b)))) = (((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((((a ∩ b) ∪ c) →1 c) ∩ (c →1 (a ∪ b))) ∩ ((a ∪ b) →1 a)))
11	10	lan 77	. . . 4 ((a →1 (a ∩ b)) ∩ (((a ∪ b) →1 a) ∩ ((((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((a ∩ b) ∪ c) →1 c)) ∩ (c →1 (a ∪ b))))) = ((a →1 (a ∩ b)) ∩ (((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((((a ∩ b) ∪ c) →1 c) ∩ (c →1 (a ∪ b))) ∩ ((a ∪ b) →1 a))))
12		anass 76	. . . 4 (((a →1 (a ∩ b)) ∩ ((a ∪ b) →1 a)) ∩ ((((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((a ∩ b) ∪ c) →1 c)) ∩ (c →1 (a ∪ b)))) = ((a →1 (a ∩ b)) ∩ (((a ∪ b) →1 a) ∩ ((((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((a ∩ b) ∪ c) →1 c)) ∩ (c →1 (a ∪ b)))))
13		anass 76	. . . 4 (((a →1 (a ∩ b)) ∩ ((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c))) ∩ (((((a ∩ b) ∪ c) →1 c) ∩ (c →1 (a ∪ b))) ∩ ((a ∪ b) →1 a))) = ((a →1 (a ∩ b)) ∩ (((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((((a ∩ b) ∪ c) →1 c) ∩ (c →1 (a ∪ b))) ∩ ((a ∪ b) →1 a))))
14	11, 12, 13	3tr1 63	. . 3 (((a →1 (a ∩ b)) ∩ ((a ∪ b) →1 a)) ∩ ((((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((a ∩ b) ∪ c) →1 c)) ∩ (c →1 (a ∪ b)))) = (((a →1 (a ∩ b)) ∩ ((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c))) ∩ (((((a ∩ b) ∪ c) →1 c) ∩ (c →1 (a ∪ b))) ∩ ((a ∪ b) →1 a)))
15		bi1o1a 798	. . . 4 (a ≡ b) = ((a →1 (a ∩ b)) ∩ ((a ∪ b) →1 a))
16		i2i1i1 800	. . . . 5 ((a ∩ b) →2 c) = (((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((a ∩ b) ∪ c) →1 c))
17	16	ran 78	. . . 4 (((a ∩ b) →2 c) ∩ (c →1 (a ∪ b))) = ((((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((a ∩ b) ∪ c) →1 c)) ∩ (c →1 (a ∪ b)))
18	15, 17	2an 79	. . 3 ((a ≡ b) ∩ (((a ∩ b) →2 c) ∩ (c →1 (a ∪ b)))) = (((a →1 (a ∩ b)) ∩ ((a ∪ b) →1 a)) ∩ ((((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c)) ∩ (((a ∩ b) ∪ c) →1 c)) ∩ (c →1 (a ∪ b))))
19		anass 76	. . 3 ((((a →1 (a ∩ b)) ∩ ((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c))) ∩ ((((a ∩ b) ∪ c) →1 c) ∩ (c →1 (a ∪ b)))) ∩ ((a ∪ b) →1 a)) = (((a →1 (a ∩ b)) ∩ ((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c))) ∩ (((((a ∩ b) ∪ c) →1 c) ∩ (c →1 (a ∪ b))) ∩ ((a ∪ b) →1 a)))
20	14, 18, 19	3tr1 63	. 2 ((a ≡ b) ∩ (((a ∩ b) →2 c) ∩ (c →1 (a ∪ b)))) = ((((a →1 (a ∩ b)) ∩ ((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c))) ∩ ((((a ∩ b) ∪ c) →1 c) ∩ (c →1 (a ∪ b)))) ∩ ((a ∪ b) →1 a))
21	2, 20	lbtr 139	1 ((a ≡ b) ∩ ((a ≡ c) ∪ (b ≡ c))) ≤ ((((a →1 (a ∩ b)) ∩ ((a ∩ b) →1 ((a ∩ b) ∪ c))) ∩ ((((a ∩ b) ∪ c) →1 c) ∩ (c →1 (a ∪ b)))) ∩ ((a ∪ b) →1 a))

Syntax hints:   ≤ wle 2   ≡ tb 5   ∪ wo 6   ∩ wa 7   →₁ wi1 12   →₂ wi2 13

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439

This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i1 44  df-i2 45  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133

This theorem is referenced by:  mlaconj2  846