Theorem oadist 1019

Description: Distributive law derived from OAL. (Contributed by NM, 20-Nov-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
oadist.1	d ≤ ((b ∪ c) →0 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))

Assertion

Ref	Expression
oadist	((a →2 b) ∩ (d ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (((a →2 b) ∩ d) ∪ ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))

Proof of Theorem oadist

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oadist.1	. . . . 5 d ≤ ((b ∪ c) →0 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
2	1	oagen1 1014	. . . 4 ((a →2 b) ∩ (d ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
3	2	bile 142	. . 3 ((a →2 b) ∩ (d ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
4		anidm 111	. . . . . . 7 ((a →2 b) ∩ (a →2 b)) = (a →2 b)
5	4	ax-r1 35	. . . . . 6 (a →2 b) = ((a →2 b) ∩ (a →2 b))
6	5	ran 78	. . . . 5 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)) = (((a →2 b) ∩ (a →2 b)) ∩ (a →2 c))
7		anass 76	. . . . 5 (((a →2 b) ∩ (a →2 b)) ∩ (a →2 c)) = ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
8	6, 7	ax-r2 36	. . . 4 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)) = ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
9		leor 159	. . . 4 ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ≤ (((a →2 b) ∩ d) ∪ ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
10	8, 9	bltr 138	. . 3 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ≤ (((a →2 b) ∩ d) ∪ ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
11	3, 10	letr 137	. 2 ((a →2 b) ∩ (d ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ (((a →2 b) ∩ d) ∪ ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
12		ledi 174	. 2 (((a →2 b) ∩ d) ∪ ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) ≤ ((a →2 b) ∩ (d ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
13	11, 12	lebi 145	1 ((a →2 b) ∩ (d ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (((a →2 b) ∩ d) ∪ ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))

Syntax hints:   = wb 1   ≤ wle 2   ∪ wo 6   ∩ wa 7   →₀ wi0 11   →₂ wi2 13

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-3oa 998

This theorem depends on definitions:  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i0 43  df-i1 44  df-i2 45  df-le1 130  df-le2 131

This theorem is referenced by: (None)