Theorem oale 829

Description: Relation for studying OA. (Contributed by NM, 18-Nov-1998.)

Assertion

Ref	Expression
oale	((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))⊥ ) ≤ (a →2 c)

Proof of Theorem oale

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i2 45	. . . . . . 7 ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) = (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∪ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ ))
2	1	lan 77	. . . . . 6 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∪ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )))
3		coman1 185	. . . . . . 7 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)) C (a →2 b)
4		comanr2 465	. . . . . . . 8 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ C ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )
5	4	comcom6 459	. . . . . . 7 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)) C ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )
6	3, 5	fh2 470	. . . . . 6 ((a →2 b) ∩ (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∪ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ ))) = (((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )))
7		anass 76	. . . . . . . . . 10 (((a →2 b) ∩ (a →2 b)) ∩ (a →2 c)) = ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
8	7	ax-r1 35	. . . . . . . . 9 ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) = (((a →2 b) ∩ (a →2 b)) ∩ (a →2 c))
9		anidm 111	. . . . . . . . . 10 ((a →2 b) ∩ (a →2 b)) = (a →2 b)
10	9	ran 78	. . . . . . . . 9 (((a →2 b) ∩ (a →2 b)) ∩ (a →2 c)) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
11	8, 10	ax-r2 36	. . . . . . . 8 ((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
12		anor3 90	. . . . . . . . 9 ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ ) = ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))⊥
13	12	lan 77	. . . . . . . 8 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ )) = ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))⊥ )
14	11, 13	2or 72	. . . . . . 7 (((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ ))) = (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∪ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))⊥ ))
15		ax-a2 31	. . . . . . 7 (((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ∪ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))⊥ )) = (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))⊥ ) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
16	14, 15	ax-r2 36	. . . . . 6 (((a →2 b) ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) ∪ ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c)⊥ ∩ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))⊥ ))) = (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))⊥ ) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
17	2, 6, 16	3tr 65	. . . . 5 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))⊥ ) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))
18	17	ax-r1 35	. . . 4 (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))⊥ ) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) = ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c))))
19		2oath1 826	. . . 4 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) →2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
20	18, 19	ax-r2 36	. . 3 (((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))⊥ ) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))) = ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
21	20	df-le1 130	. 2 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))⊥ ) ≤ ((a →2 b) ∩ (a →2 c))
22		lear 161	. 2 ((a →2 b) ∩ (a →2 c)) ≤ (a →2 c)
23	21, 22	letr 137	1 ((a →2 b) ∩ ((b ∪ c) ∪ ((a →2 b) ∩ (a →2 c)))⊥ ) ≤ (a →2 c)

Syntax hints:   ≤ wle 2  ^⊥ wn 4   ∪ wo 6   ∩ wa 7   →₂ wi2 13

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439

This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i2 45  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133

This theorem is referenced by: (None)