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Theorem ud5lem1c 588
Description: Lemma for unified disjunction. (Contributed by NM, 26-Nov-1997.)
Assertion
Ref Expression
ud5lem1c ((a5 b) ∩ (b5 a) ) = (((ab) ∩ (ab )) ∩ ((ab) ∩ (ab )))

Proof of Theorem ud5lem1c
StepHypRef Expression
1 ud5lem0c 281 . . 3 (a5 b) = (((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab))
2 ud5lem0c 281 . . . 4 (b5 a) = (((ba ) ∩ (ba )) ∩ (ba))
3 ax-a2 31 . . . . . 6 (ba ) = (ab )
4 ax-a2 31 . . . . . 6 (ba ) = (ab)
53, 42an 79 . . . . 5 ((ba ) ∩ (ba )) = ((ab ) ∩ (ab))
6 ax-a2 31 . . . . 5 (ba) = (ab)
75, 62an 79 . . . 4 (((ba ) ∩ (ba )) ∩ (ba)) = (((ab ) ∩ (ab)) ∩ (ab))
82, 7ax-r2 36 . . 3 (b5 a) = (((ab ) ∩ (ab)) ∩ (ab))
91, 82an 79 . 2 ((a5 b) ∩ (b5 a) ) = ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ (((ab ) ∩ (ab)) ∩ (ab)))
10 an4 86 . . 3 ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ (((ab ) ∩ (ab)) ∩ (ab))) = ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ ((ab ) ∩ (ab))) ∩ ((ab) ∩ (ab)))
11 ancom 74 . . . 4 ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ ((ab ) ∩ (ab))) ∩ ((ab) ∩ (ab))) = (((ab) ∩ (ab)) ∩ (((ab ) ∩ (ab )) ∩ ((ab ) ∩ (ab))))
12 anidm 111 . . . . . 6 ((ab) ∩ (ab)) = (ab)
13 an4 86 . . . . . . 7 (((ab ) ∩ (ab )) ∩ ((ab ) ∩ (ab))) = (((ab ) ∩ (ab )) ∩ ((ab ) ∩ (ab)))
14 anidm 111 . . . . . . . . . 10 ((ab ) ∩ (ab )) = (ab )
1514ran 78 . . . . . . . . 9 (((ab ) ∩ (ab )) ∩ ((ab ) ∩ (ab))) = ((ab ) ∩ ((ab ) ∩ (ab)))
16 ancom 74 . . . . . . . . 9 ((ab ) ∩ ((ab ) ∩ (ab))) = (((ab ) ∩ (ab)) ∩ (ab ))
1715, 16ax-r2 36 . . . . . . . 8 (((ab ) ∩ (ab )) ∩ ((ab ) ∩ (ab))) = (((ab ) ∩ (ab)) ∩ (ab ))
18 anass 76 . . . . . . . 8 (((ab ) ∩ (ab)) ∩ (ab )) = ((ab ) ∩ ((ab) ∩ (ab )))
1917, 18ax-r2 36 . . . . . . 7 (((ab ) ∩ (ab )) ∩ ((ab ) ∩ (ab))) = ((ab ) ∩ ((ab) ∩ (ab )))
2013, 19ax-r2 36 . . . . . 6 (((ab ) ∩ (ab )) ∩ ((ab ) ∩ (ab))) = ((ab ) ∩ ((ab) ∩ (ab )))
2112, 202an 79 . . . . 5 (((ab) ∩ (ab)) ∩ (((ab ) ∩ (ab )) ∩ ((ab ) ∩ (ab)))) = ((ab) ∩ ((ab ) ∩ ((ab) ∩ (ab ))))
22 anass 76 . . . . . 6 (((ab) ∩ (ab )) ∩ ((ab) ∩ (ab ))) = ((ab) ∩ ((ab ) ∩ ((ab) ∩ (ab ))))
2322ax-r1 35 . . . . 5 ((ab) ∩ ((ab ) ∩ ((ab) ∩ (ab )))) = (((ab) ∩ (ab )) ∩ ((ab) ∩ (ab )))
2421, 23ax-r2 36 . . . 4 (((ab) ∩ (ab)) ∩ (((ab ) ∩ (ab )) ∩ ((ab ) ∩ (ab)))) = (((ab) ∩ (ab )) ∩ ((ab) ∩ (ab )))
2511, 24ax-r2 36 . . 3 ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ ((ab ) ∩ (ab))) ∩ ((ab) ∩ (ab))) = (((ab) ∩ (ab )) ∩ ((ab) ∩ (ab )))
2610, 25ax-r2 36 . 2 ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ (((ab ) ∩ (ab)) ∩ (ab))) = (((ab) ∩ (ab )) ∩ ((ab) ∩ (ab )))
279, 26ax-r2 36 1 ((a5 b) ∩ (b5 a) ) = (((ab) ∩ (ab )) ∩ ((ab) ∩ (ab )))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1   wn 4  wo 6  wa 7  5 wi5 16
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38
This theorem depends on definitions:  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i5 48
This theorem is referenced by:  ud5lem1  589
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