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Theorem ud5lem3b 592
Description: Lemma for unified disjunction. (Contributed by NM, 26-Nov-1997.)
Assertion
Ref Expression
ud5lem3b ((a5 b) ∩ (a ∪ (ab))) = (a ∩ (ab ))

Proof of Theorem ud5lem3b
StepHypRef Expression
1 ud5lem0c 281 . . 3 (a5 b) = (((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab))
21ran 78 . 2 ((a5 b) ∩ (a ∪ (ab))) = ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ (a ∪ (ab)))
3 comorr 184 . . . . . . 7 a C (ab )
43comcom6 459 . . . . . 6 a C (ab )
5 comorr 184 . . . . . 6 a C (ab )
64, 5com2an 484 . . . . 5 a C ((ab ) ∩ (ab ))
7 comorr 184 . . . . 5 a C (ab)
86, 7com2an 484 . . . 4 a C (((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab))
9 comanr1 464 . . . . 5 a C (ab)
109comcom6 459 . . . 4 a C (ab)
118, 10fh2 470 . . 3 ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ (a ∪ (ab))) = (((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ a) ∪ ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ (ab)))
12 anass 76 . . . . . 6 ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ a) = (((ab ) ∩ (ab )) ∩ ((ab) ∩ a))
13 ancom 74 . . . . . . . . 9 ((ab) ∩ a) = (a ∩ (ab))
14 anabs 121 . . . . . . . . 9 (a ∩ (ab)) = a
1513, 14ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((ab) ∩ a) = a
1615lan 77 . . . . . . 7 (((ab ) ∩ (ab )) ∩ ((ab) ∩ a)) = (((ab ) ∩ (ab )) ∩ a)
17 anass 76 . . . . . . . 8 (((ab ) ∩ (ab )) ∩ a) = ((ab ) ∩ ((ab ) ∩ a))
18 ancom 74 . . . . . . . . . . 11 ((ab ) ∩ a) = (a ∩ (ab ))
19 anabs 121 . . . . . . . . . . 11 (a ∩ (ab )) = a
2018, 19ax-r2 36 . . . . . . . . . 10 ((ab ) ∩ a) = a
2120lan 77 . . . . . . . . 9 ((ab ) ∩ ((ab ) ∩ a)) = ((ab ) ∩ a)
22 ancom 74 . . . . . . . . 9 ((ab ) ∩ a) = (a ∩ (ab ))
2321, 22ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((ab ) ∩ ((ab ) ∩ a)) = (a ∩ (ab ))
2417, 23ax-r2 36 . . . . . . 7 (((ab ) ∩ (ab )) ∩ a) = (a ∩ (ab ))
2516, 24ax-r2 36 . . . . . 6 (((ab ) ∩ (ab )) ∩ ((ab) ∩ a)) = (a ∩ (ab ))
2612, 25ax-r2 36 . . . . 5 ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ a) = (a ∩ (ab ))
27 an32 83 . . . . . 6 ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ (ab)) = ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ (ab))
28 anass 76 . . . . . . . . 9 (((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) = ((ab ) ∩ ((ab ) ∩ (ab)))
29 anor2 89 . . . . . . . . . . . . 13 (ab) = (ab )
3029lan 77 . . . . . . . . . . . 12 ((ab ) ∩ (ab)) = ((ab ) ∩ (ab ) )
31 dff 101 . . . . . . . . . . . . 13 0 = ((ab ) ∩ (ab ) )
3231ax-r1 35 . . . . . . . . . . . 12 ((ab ) ∩ (ab ) ) = 0
3330, 32ax-r2 36 . . . . . . . . . . 11 ((ab ) ∩ (ab)) = 0
3433lan 77 . . . . . . . . . 10 ((ab ) ∩ ((ab ) ∩ (ab))) = ((ab ) ∩ 0)
35 an0 108 . . . . . . . . . 10 ((ab ) ∩ 0) = 0
3634, 35ax-r2 36 . . . . . . . . 9 ((ab ) ∩ ((ab ) ∩ (ab))) = 0
3728, 36ax-r2 36 . . . . . . . 8 (((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) = 0
3837ran 78 . . . . . . 7 ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ (ab)) = (0 ∩ (ab))
39 an0r 109 . . . . . . 7 (0 ∩ (ab)) = 0
4038, 39ax-r2 36 . . . . . 6 ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ (ab)) = 0
4127, 40ax-r2 36 . . . . 5 ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ (ab)) = 0
4226, 412or 72 . . . 4 (((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ a) ∪ ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ (ab))) = ((a ∩ (ab )) ∪ 0)
43 or0 102 . . . 4 ((a ∩ (ab )) ∪ 0) = (a ∩ (ab ))
4442, 43ax-r2 36 . . 3 (((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ a) ∪ ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ (ab))) = (a ∩ (ab ))
4511, 44ax-r2 36 . 2 ((((ab ) ∩ (ab )) ∩ (ab)) ∩ (a ∪ (ab))) = (a ∩ (ab ))
462, 45ax-r2 36 1 ((a5 b) ∩ (a ∪ (ab))) = (a ∩ (ab ))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1   wn 4  wo 6  wa 7  0wf 9  5 wi5 16
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i5 48  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  ud5lem3  594
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