ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elovmpt2 Unicode version

Theorem elovmpt2 5827
Description: Utility lemma for two-parameter classes. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elovmpt2.d  |-  D  =  ( a  e.  A ,  b  e.  B  |->  C )
elovmpt2.c  |-  C  e. 
_V
elovmpt2.e  |-  ( ( a  =  X  /\  b  =  Y )  ->  C  =  E )
Assertion
Ref Expression
elovmpt2  |-  ( F  e.  ( X D Y )  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F  e.  E ) )
Distinct variable groups:    A, a, b    B, a, b    E, a, b    F, a, b    X, a, b    Y, a, b
Allowed substitution hints:    C( a, b)    D( a, b)

Proof of Theorem elovmpt2
StepHypRef Expression
1 elovmpt2.d . . . 4  |-  D  =  ( a  e.  A ,  b  e.  B  |->  C )
21elmpt2cl 5824 . . 3  |-  ( F  e.  ( X D Y )  ->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )
)
3 elovmpt2.c . . . . . . 7  |-  C  e. 
_V
43gen2 1384 . . . . . 6  |-  A. a A. b  C  e.  _V
5 elovmpt2.e . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  X  /\  b  =  Y )  ->  C  =  E )
65eleq1d 2156 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  X  /\  b  =  Y )  ->  ( C  e.  _V  <->  E  e.  _V ) )
76spc2gv 2709 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. a A. b  C  e.  _V  ->  E  e.  _V )
)
84, 7mpi 15 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  E  e.  _V )
95, 1ovmpt2ga 5756 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  E  e.  _V )  ->  ( X D Y )  =  E )
108, 9mpd3an3 1274 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( X D Y )  =  E )
1110eleq2d 2157 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  ->  ( F  e.  ( X D Y )  <-> 
F  e.  E ) )
122, 11biadan2 444 . 2  |-  ( F  e.  ( X D Y )  <->  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B )  /\  F  e.  E
) )
13 df-3an 926 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F  e.  E )  <->  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B
)  /\  F  e.  E ) )
1412, 13bitr4i 185 1  |-  ( F  e.  ( X D Y )  <->  ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F  e.  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619  (class class class)co 5634    |-> cmpt2 5636
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-setind 4343
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator