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Theorem fisum 10742
 Description: The value of a sum over a nonempty finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Sep-2022.) Use fsum3 10743 instead. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum.1
fsum.2
fsum.3
fsum.4
fsum.5
Assertion
Ref Expression
fisum
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem fisum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-isum 10707 . 2 DECID
2 fsum.2 . . . . 5
3 nnuz 9023 . . . . 5
42, 3syl6eleq 2180 . . . 4
53eqimss2i 3079 . . . . . . . 8
65sseli 3019 . . . . . . 7
76adantl 271 . . . . . 6
8 fveq2 5289 . . . . . . . . 9
98eleq1d 2156 . . . . . . . 8
10 fsum.1 . . . . . . . . . 10
11 fsum.3 . . . . . . . . . 10
12 fsum.4 . . . . . . . . . 10
13 fsum.5 . . . . . . . . . 10
1410, 2, 11, 12, 13fsumgcl 10741 . . . . . . . . 9
1514ad2antrr 472 . . . . . . . 8
16 1zzd 8747 . . . . . . . . . 10
172nnzd 8837 . . . . . . . . . . 11
1817ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10
19 eluzelz 8997 . . . . . . . . . . 11
2019ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10
2116, 18, 203jca 1123 . . . . . . . . 9
22 eluzle 9000 . . . . . . . . . . 11
2322ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10
24 simpr 108 . . . . . . . . . 10
2523, 24jca 300 . . . . . . . . 9
26 elfz2 9400 . . . . . . . . 9
2721, 25, 26sylanbrc 408 . . . . . . . 8
289, 15, 27rspcdva 2727 . . . . . . 7
29 0cnd 7460 . . . . . . 7
307nnzd 8837 . . . . . . . 8
3117adantr 270 . . . . . . . 8
32 zdcle 8793 . . . . . . . 8 DECID
3330, 31, 32syl2anc 403 . . . . . . 7 DECID
3428, 29, 33ifcldadc 3416 . . . . . 6
35 breq1 3840 . . . . . . . 8
3635, 8ifbieq1d 3409 . . . . . . 7
37 eqid 2088 . . . . . . 7
3836, 37fvmptg 5364 . . . . . 6
397, 34, 38syl2anc 403 . . . . 5
4039, 34eqeltrd 2164 . . . 4
41 addcl 7446 . . . . 5
4241adantl 271 . . . 4
434, 40, 42iseqcl 9846 . . 3
4443adantr 270 . . . . . . . 8 DECID
45 eleq1w 2148 . . . . . . . . . . . . 13
46 csbeq1 2934 . . . . . . . . . . . . 13
4745, 46ifbieq1d 3409 . . . . . . . . . . . 12
4847cbvmptv 3926 . . . . . . . . . . 11
4912ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . 12
50 nfcsb1v 2961 . . . . . . . . . . . . . 14
5150nfel1 2239 . . . . . . . . . . . . 13
52 csbeq1a 2939 . . . . . . . . . . . . . 14
5352eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . 13
5451, 53rspc 2716 . . . . . . . . . . . 12
5549, 54mpan9 275 . . . . . . . . . . 11
56 breq1 3840 . . . . . . . . . . . . 13
57 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857csbeq1d 2937 . . . . . . . . . . . . . 14
59 csbco 2940 . . . . . . . . . . . . . 14
6058, 59syl6eqr 2138 . . . . . . . . . . . . 13
6156, 60ifbieq1d 3409 . . . . . . . . . . . 12
6261cbvmptv 3926 . . . . . . . . . . 11
6348, 55, 62isummo 10737 . . . . . . . . . 10 DECID
64 eleq1w 2148 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6564dcbid 786 . . . . . . . . . . . . . . 15 DECID DECID
6665cbvralv 2590 . . . . . . . . . . . . . 14 DECID DECID
67663anbi2i 1135 . . . . . . . . . . . . 13 DECID DECID
6867rexbii 2385 . . . . . . . . . . . 12 DECID DECID
69 1zzd 8747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
70 nnz 8739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7169, 70fzfigd 9803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
72 fihasheqf1oi 10161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7371, 72sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
74 nnnn0 8650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7574adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
76 hashfz1 10156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7775, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7873, 77eqtr3d 2122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7978breq2d 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8079ifbid 3408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8180mpteq2dv 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
82 iseqeq3 9825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8381, 82syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8483fveq1d 5291 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8584eqeq2d 2099 . . . . . . . . . . . . . . 15
8685pm5.32da 440 . . . . . . . . . . . . . 14
8786exbidv 1753 . . . . . . . . . . . . 13
8887rexbiia 2393 . . . . . . . . . . . 12
8968, 88orbi12i 716 . . . . . . . . . . 11 DECID DECID
9089mobii 1985 . . . . . . . . . 10 DECID DECID
9163, 90sylib 120 . . . . . . . . 9 DECID
9291adantr 270 . . . . . . . 8 DECID DECID
93 simpr 108 . . . . . . . 8 DECID DECID
94 f1of 5237 . . . . . . . . . . . . . 14
9511, 94syl 14 . . . . . . . . . . . . 13
96 1zzd 8747 . . . . . . . . . . . . . 14
9796, 17fzfigd 9803 . . . . . . . . . . . . 13
98 fex 5506 . . . . . . . . . . . . 13
9995, 97, 98syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12
10013ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
101 nfv 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102 nfcsb1v 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103102nfeq2 2240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105 csbeq1a 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106104, 105eqeq12d 2102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107101, 103, 106cbvral 2586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108100, 107sylib 120 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109108r19.21bi 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15
110 elfznn 9437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111110adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112 elfzle2 9411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113112adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114113iftrued 3396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115104eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11614adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118115, 116, 117rspcdva 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119114, 118eqeltrd 2164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120 breq1 3840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121120, 104ifbieq1d 3409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122121, 37fvmptg 5364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123111, 119, 122syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124123, 114eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . . 15
125113iftrued 3396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12695ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
12710adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
128126, 127csbied 2972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
12949adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
130 nfcsb1v 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
131130nfel1 2239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
132 csbeq1a 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
133132eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
134131, 133rspc 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
135126, 129, 134sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136128, 135eqeltrrd 2165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
137136ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
138 nfv 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139102nfel1 2239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
140105eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141138, 139, 140cbvral 2586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
142137, 141sylib 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143142r19.21bi 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144125, 143eqeltrd 2164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
145 nfcv 2228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
146 nfv 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
147 nfcv 2228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148146, 102, 147nfif 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149120, 105ifbieq1d 3409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
150 eqid 2088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
151145, 148, 149, 150fvmptf 5379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
152111, 144, 151syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16
153152, 125eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . . 15
154109, 124, 1533eqtr4d 2130 . . . . . . . . . . . . . 14
155137ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
156 nfcsb1v 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
157156nfel1 2239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
158 csbeq1a 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
159158eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
160157, 159rspc 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16127, 155, 160sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
162161, 29, 33ifcldadc 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163 nfcv 2228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
164 nfv 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
165164, 156, 147nfif 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16635, 158ifbieq1d 3409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
167163, 165, 166, 150fvmptf 5379 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1687, 162, 167syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15
169168, 162eqeltrd 2164 . . . . . . . . . . . . . 14
1704, 154, 40, 169, 42iseqfveq 9859 . . . . . . . . . . . . 13
17111, 170jca 300 . . . . . . . . . . . 12
172 f1oeq1 5228 . . . . . . . . . . . . . 14
173 fveq1 5288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
174173csbeq1d 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
175 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
176 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
177175, 176fvex 5309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
178173, 177syl6eqelr 2179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
17910adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
180178, 179csbied 2972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
181174, 180eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
182181ifeq1d 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
183182mpteq2dv 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
184 iseqeq3 9825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
185183, 184syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16
186185fveq1d 5291 . . . . . . . . . . . . . . 15
187186eqeq2d 2099 . . . . . . . . . . . . . 14
188172, 187anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . 13
189188spcegv 2707 . . . . . . . . . . . 12
19099, 171, 189sylc 61 . . . . . . . . . . 11
191 oveq2 5642 . . . . . . . . . . . . . . 15
192 f1oeq2 5229 . . . . . . . . . . . . . . 15
193191, 192syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14
194 breq2 3841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
195194ifbid 3408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
196195mpteq2dv 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
197 iseqeq3 9825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
198196, 197syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16
199 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16
200198, 199fveq12d 5296 . . . . . . . . . . . . . . 15
201200eqeq2d 2099 . . . . . . . . . . . . . 14
202193, 201anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . 13
203202exbidv 1753 . . . . . . . . . . . 12
204203rspcev 2722 . . . . . . . . . . 11
2052, 190, 204syl2anc 403 . . . . . . . . . 10
206205olcd 688 . . . . . . . . 9 DECID
207206adantr 270 . . . . . . . 8 DECID DECID
208 breq2 3841 . . . . . . . . . . . 12
2092083anbi3d 1254 . . . . . . . . . . 11 DECID DECID
210209rexbidv 2381 . . . . . . . . . 10 DECID DECID
211 eqeq1 2094 . . . . . . . . . . . . 13
212211anbi2d 452 . . . . . . . . . . . 12
213212exbidv 1753 . . . . . . . . . . 11
214213rexbidv 2381 . . . . . . . . . 10
215210, 214orbi12d 742 . . . . . . . . 9 DECID DECID
216215moi2 2794 . . . . . . . 8 DECID DECID DECID
21744, 92, 93, 207, 216syl22anc 1175 . . . . . . 7 DECID
218217ex 113 . . . . . 6 DECID
219206, 215syl5ibrcom 155 . . . . . 6 DECID
220218, 219impbid 127 . . . . 5 DECID
221220adantr 270 . . . 4 DECID
222221iota5 4987 . . 3 DECID
22343, 222mpdan 412 . 2 DECID
2241, 223syl5eq 2132 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 102   wb 103   wo 664  DECID wdc 780   w3a 924   wceq 1289  wex 1426   wcel 1438  wmo 1949  wral 2359  wrex 2360  cvv 2619  csb 2931   wss 2997  cif 3389   class class class wbr 3837   cmpt 3891  cio 4965  wf 4998  wf1o 5001  cfv 5002  (class class class)co 5634  cfn 6437  cc 7327  cc0 7329  c1 7330   caddc 7332   cle 7502  cn 8394  cn0 8643  cz 8720  cuz 8988  cfz 9393   cseq4 9816  ♯chash 10148   cli 10630  csu 10706 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-isom 5011  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-frec 6138  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-ihash 10149  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-clim 10631  df-isum 10707 This theorem is referenced by:  fsum3  10743  isumz  10745  fsumf1o  10746  fsumadd  10763  sumsnf  10766
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