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Theorem fisum 10742
Description: The value of a sum over a nonempty finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Sep-2022.) Use fsum3 10743 instead. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum.1  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  B  =  C )
fsum.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fsum.3  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
fsum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsum.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  n )  =  C )
Assertion
Ref Expression
fisum  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )
)
Distinct variable groups:    A, k, n    B, n    C, k    k, F, n    k, G, n   
k, M, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    B( k)    C( n)

Proof of Theorem fisum
Dummy variables  f  i  j  m  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-isum 10707 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
2 fsum.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 nnuz 9023 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
42, 3syl6eleq 2180 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
53eqimss2i 3079 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
65sseli 3019 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  x  e.  NN )
76adantl 271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  x  e.  NN )
8 fveq2 5289 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  x  ->  ( G `  n )  =  ( G `  x ) )
98eleq1d 2156 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  x  ->  (
( G `  n
)  e.  CC  <->  ( G `  x )  e.  CC ) )
10 fsum.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  B  =  C )
11 fsum.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
12 fsum.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
13 fsum.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  n )  =  C )
1410, 2, 11, 12, 13fsumgcl 10741 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... M ) ( G `  n
)  e.  CC )
1514ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  A. n  e.  ( 1 ... M
) ( G `  n )  e.  CC )
16 1zzd 8747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  1  e.  ZZ )
172nnzd 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1817ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  M  e.  ZZ )
19 eluzelz 8997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  x  e.  ZZ )
2019ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  x  e.  ZZ )
2116, 18, 203jca 1123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )
22 eluzle 9000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  x )
2322ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  1  <_  x )
24 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  x  <_  M )
2523, 24jca 300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  ( 1  <_  x  /\  x  <_  M ) )
26 elfz2 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  x  /\  x  <_  M ) ) )
2721, 25, 26sylanbrc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  x  e.  ( 1 ... M
) )
289, 15, 27rspcdva 2727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
29 0cnd 7460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  x  <_  M )  ->  0  e.  CC )
307nnzd 8837 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  x  e.  ZZ )
3117adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  M  e.  ZZ )
32 zdcle 8793 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  -> DECID  x  <_  M )
3330, 31, 32syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  x  <_  M )
3428, 29, 33ifcldadc 3416 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
x  <_  M , 
( G `  x
) ,  0 )  e.  CC )
35 breq1 3840 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  x  ->  (
n  <_  M  <->  x  <_  M ) )
3635, 8ifbieq1d 3409 . . . . . . 7  |-  ( n  =  x  ->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 )  =  if ( x  <_  M ,  ( G `  x ) ,  0 ) )
37 eqid 2088 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 ) )
3836, 37fvmptg 5364 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  if ( x  <_  M ,  ( G `  x ) ,  0 )  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  <_  M ,  ( G `  x ) ,  0 ) )
397, 34, 38syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( x  <_  M , 
( G `  x
) ,  0 ) )
4039, 34eqeltrd 2164 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) `  x
)  e.  CC )
41 addcl 7446 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
4241adantl 271 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  +  y )  e.  CC )
434, 40, 42iseqcl 9846 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M )  e.  CC )
4443adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  e.  CC )
45 eleq1w 2148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (
n  e.  A  <->  j  e.  A ) )
46 csbeq1 2934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ j  /  k ]_ B )
4745, 46ifbieq1d 3409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  0 ) )
4847cbvmptv 3926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( j  e.  ZZ  |->  if ( j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  0 ) )
4912ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
50 nfcsb1v 2961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ B
5150nfel1 2239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ B  e.  CC
52 csbeq1a 2939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  B  =  [_ j  /  k ]_ B )
5352eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
5451, 53rspc 2716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
)
5549, 54mpan9 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
56 breq1 3840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  i  ->  (
n  <_  ( `  A
)  <->  i  <_  ( `  A ) ) )
57 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  i  ->  (
f `  n )  =  ( f `  i ) )
5857csbeq1d 2937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  i  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  i )  /  k ]_ B )
59 csbco 2940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ (
f `  i )  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  i )  /  k ]_ B
6058, 59syl6eqr 2138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  i  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  i )  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ B )
6156, 60ifbieq1d 3409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  i  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( i  <_ 
( `  A ) , 
[_ ( f `  i )  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ B ,  0 ) )
6261cbvmptv 3926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( i  e.  NN  |->  if ( i  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  i )  /  j ]_ [_ j  /  k ]_ B ,  0 ) )
6348, 55, 62isummo 10737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
64 eleq1w 2148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  j  ->  (
u  e.  A  <->  j  e.  A ) )
6564dcbid 786 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  j  ->  (DECID  u  e.  A  <-> DECID  j  e.  A )
)
6665cbvralv 2590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  <->  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )
67663anbi2i 1135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  <->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x ) )
6867rexbii 2385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x ) )
69 1zzd 8747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
70 nnz 8739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
7169, 70fzfigd 9803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1 ... m )  e. 
Fin )
72 fihasheqf1oi 10161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( `  ( 1 ... m
) )  =  ( `  A ) )
7371, 72sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  NN  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( `  ( 1 ... m
) )  =  ( `  A ) )
74 nnnn0 8650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
7574adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  NN  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  m  e.  NN0 )
76 hashfz1 10156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... m ) )  =  m )
7775, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  NN  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( `  ( 1 ... m
) )  =  m )
7873, 77eqtr3d 2122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  NN  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( `  A )  =  m )
7978breq2d 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  NN  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
n  <_  ( `  A
)  <->  n  <_  m ) )
8079ifbid 3408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  NN  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `
 n )  / 
k ]_ B ,  0 ) )
8180mpteq2dv 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  NN  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) )
82 iseqeq3 9825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )  ->  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) )
8381, 82syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) )
8483fveq1d 5291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) )
8584eqeq2d 2099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m )  <->  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) )
8685pm5.32da 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) )  <-> 
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
8786exbidv 1753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) )  <->  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
8887rexbiia 2393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) )
8968, 88orbi12i 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
9089mobii 1985 . . . . . . . . . 10  |-  ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. u  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  u  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) )  <->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
9163, 90sylib 120 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
9291adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
93 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
94 f1of 5237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  ->  F :
( 1 ... M
) --> A )
9511, 94syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> A )
96 1zzd 8747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
9796, 17fzfigd 9803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  Fin )
98 fex 5506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 1 ... M ) --> A  /\  ( 1 ... M )  e.  Fin )  ->  F  e.  _V )
9995, 97, 98syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
10013ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... M ) ( G `  n
)  =  C )
101 nfv 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k ( G `  n
)  =  C
102 nfcsb1v 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ n [_ k  /  n ]_ C
103102nfeq2 2240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n
( G `  k
)  =  [_ k  /  n ]_ C
104 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
105 csbeq1a 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  C  =  [_ k  /  n ]_ C )
106104, 105eqeq12d 2102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( G `  n
)  =  C  <->  ( G `  k )  =  [_ k  /  n ]_ C
) )
107101, 103, 106cbvral 2586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. n  e.  ( 1 ... M ) ( G `  n )  =  C  <->  A. k  e.  ( 1 ... M
) ( G `  k )  =  [_ k  /  n ]_ C
)
108100, 107sylib 120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... M ) ( G `  k
)  =  [_ k  /  n ]_ C )
109108r19.21bi 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  k )  =  [_ k  /  n ]_ C )
110 elfznn 9437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  NN )
111110adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  k  e.  NN )
112 elfzle2 9411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  <_  M )
113112adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  k  <_  M )
114113iftrued 3396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( k  <_  M ,  ( G `  k ) ,  0 )  =  ( G `
 k ) )
115104eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
( G `  n
)  e.  CC  <->  ( G `  k )  e.  CC ) )
11614adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. n  e.  ( 1 ... M
) ( G `  n )  e.  CC )
117 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  k  e.  ( 1 ... M
) )
118115, 116, 117rspcdva 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
119114, 118eqeltrd 2164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( k  <_  M ,  ( G `  k ) ,  0 )  e.  CC )
120 breq1 3840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
n  <_  M  <->  k  <_  M ) )
121120, 104ifbieq1d 3409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 )  =  if ( k  <_  M ,  ( G `  k ) ,  0 ) )
122121, 37fvmptg 5364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  if ( k  <_  M ,  ( G `  k ) ,  0 )  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  <_  M ,  ( G `  k ) ,  0 ) )
123111, 119, 122syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) `  k
)  =  if ( k  <_  M , 
( G `  k
) ,  0 ) )
124123, 114eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) `  k
)  =  ( G `
 k ) )
125113iftrued 3396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( k  <_  M ,  [_ k  /  n ]_ C ,  0 )  =  [_ k  /  n ]_ C )
12695ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( F `  n )  e.  A )
12710adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  /\  k  =  ( F `  n ) )  ->  B  =  C )
128126, 127csbied 2972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  =  C )
12949adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
130 nfcsb1v 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ k [_ ( F `  n
)  /  k ]_ B
131130nfel1 2239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/ k
[_ ( F `  n )  /  k ]_ B  e.  CC
132 csbeq1a 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  B  =  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B )
133132eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  ( F `  n )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( F `
 n )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
134131, 133rspc 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( F `  n
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
135126, 129, 134sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  e.  CC )
136128, 135eqeltrrd 2165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... M
) )  ->  C  e.  CC )
137136ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... M ) C  e.  CC )
138 nfv 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ k  C  e.  CC
139102nfel1 2239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ n [_ k  /  n ]_ C  e.  CC
140105eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  k  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ k  /  n ]_ C  e.  CC ) )
141138, 139, 140cbvral 2586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. n  e.  ( 1 ... M ) C  e.  CC  <->  A. k  e.  ( 1 ... M
) [_ k  /  n ]_ C  e.  CC )
142137, 141sylib 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 1 ... M )
[_ k  /  n ]_ C  e.  CC )
143142r19.21bi 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  [_ k  /  n ]_ C  e.  CC )
144125, 143eqeltrd 2164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( k  <_  M ,  [_ k  /  n ]_ C ,  0 )  e.  CC )
145 nfcv 2228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ n
k
146 nfv 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ n  k  <_  M
147 nfcv 2228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ n
0
148146, 102, 147nfif 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ n if ( k  <_  M ,  [_ k  /  n ]_ C ,  0 )
149120, 105ifbieq1d 3409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 )  =  if ( k  <_  M ,  [_ k  /  n ]_ C ,  0 ) )
150 eqid 2088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) )
151145, 148, 149, 150fvmptf 5379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  if ( k  <_  M ,  [_ k  /  n ]_ C ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) ) `
 k )  =  if ( k  <_  M ,  [_ k  /  n ]_ C ,  0 ) )
152111, 144, 151syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  <_  M ,  [_ k  /  n ]_ C ,  0 ) )
153152, 125eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  [_ k  /  n ]_ C )
154109, 124, 1533eqtr4d 2130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) `  k
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) ) `  k ) )
155137ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  A. n  e.  ( 1 ... M
) C  e.  CC )
156 nfcsb1v 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ n [_ x  /  n ]_ C
157156nfel1 2239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ n [_ x  /  n ]_ C  e.  CC
158 csbeq1a 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  x  ->  C  =  [_ x  /  n ]_ C )
159158eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  x  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ x  /  n ]_ C  e.  CC ) )
160157, 159rspc 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 ... M )  ->  ( A. n  e.  (
1 ... M ) C  e.  CC  ->  [_ x  /  n ]_ C  e.  CC ) )
16127, 155, 160sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  M )  ->  [_ x  /  n ]_ C  e.  CC )
162161, 29, 33ifcldadc 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
x  <_  M ,  [_ x  /  n ]_ C ,  0 )  e.  CC )
163 nfcv 2228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n x
164 nfv 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n  x  <_  M
165164, 156, 147nfif 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n if ( x  <_  M ,  [_ x  /  n ]_ C ,  0 )
16635, 158ifbieq1d 3409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  x  ->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 )  =  if ( x  <_  M ,  [_ x  /  n ]_ C ,  0 ) )
167163, 165, 166, 150fvmptf 5379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  NN  /\  if ( x  <_  M ,  [_ x  /  n ]_ C ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  <_  M ,  [_ x  /  n ]_ C ,  0 ) )
1687, 162, 167syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  <_  M ,  [_ x  /  n ]_ C ,  0 ) )
169168, 162eqeltrd 2164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) ) `  x )  e.  CC )
1704, 154, 40, 169, 42iseqfveq 9859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) )
17111, 170jca 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) ) )
172 f1oeq1 5228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  (
f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  <->  F :
( 1 ... M
)
-1-1-onto-> A ) )
173 fveq1 5288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  n )  =  ( F `  n ) )
174173csbeq1d 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  F  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B )
175 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  f  e. 
_V
176 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  n  e. 
_V
177175, 176fvex 5309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f `
 n )  e. 
_V
178173, 177syl6eqelr 2179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  F  ->  ( F `  n )  e.  _V )
17910adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f  =  F  /\  k  =  ( F `  n ) )  ->  B  =  C )
180178, 179csbied 2972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  F  ->  [_ ( F `  n )  /  k ]_ B  =  C )
181174, 180eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  F  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  C )
182181ifeq1d 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  F  ->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) )
183182mpteq2dv 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  F  ->  (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) ) )
184 iseqeq3 9825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) )  ->  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) ) ,  CC ) )
185183, 184syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  F  ->  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) ) ,  CC ) )
186185fveq1d 5291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  F  ->  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) )
187186eqeq2d 2099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M )  <->  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) ) )
188172, 187anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) )  <-> 
( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) ) ) )
189188spcegv 2707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  _V  ->  (
( F : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) )  ->  E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) ) ) )
19099, 171, 189sylc 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E. f ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) ) )
191 oveq2 5642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  M  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... M
) )
192 f1oeq2 5229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... M )  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... M
)
-1-1-onto-> A ) )
193191, 192syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  M  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... M
)
-1-1-onto-> A ) )
194 breq2 3841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  M  ->  (
n  <_  m  <->  n  <_  M ) )
195194ifbid 3408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  M  ->  if ( n  <_  m , 
[_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
196195mpteq2dv 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  M  ->  (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) )
197 iseqeq3 9825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )  ->  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) )
198196, 197syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  M  ->  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) )
199 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  M  ->  m  =  M )
200198, 199fveq12d 5296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  M  ->  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) )
201200eqeq2d 2099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  M  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m )  <->  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) ) )
202193, 201anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  M  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) )  <-> 
( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) ) ) )
203202exbidv 1753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  M  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) )  <->  E. f ( f : ( 1 ... M
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) ) ) )
204203rspcev 2722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  E. f ( f : ( 1 ... M
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) ) )  ->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) )
2052, 190, 204syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) )
206205olcd 688 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
207206adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
208 breq2 3841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  ->  (  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x  <->  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )
) )
2092083anbi3d 1254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  <->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) ) ) )
210209rexbidv 2381 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) ) ) )
211 eqeq1 2094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  ->  ( x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m )  <->  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) )
212211anbi2d 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  ->  ( ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) )  <-> 
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
213212exbidv 1753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) )  <->  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
214213rexbidv 2381 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
215210, 214orbi12d 742 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) ) )
216215moi2 2794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  e.  CC  /\  E* x
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )  /\  (
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M , 
( G `  n
) ,  0 ) ) ,  CC ) `
 M ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) ) )  ->  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )
)
21744, 92, 93, 207, 216syl22anc 1175 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )  ->  x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )
)
218217ex 113 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) )  ->  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M ) ) )
219206, 215syl5ibrcom 155 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) ) )
220218, 219impbid 127 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) )  <->  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )
) )
221220adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  e.  CC )  ->  (
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) )  <->  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )
) )
222221iota5 4987 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )  e.  CC )  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M ) )
22343, 222mpdan 412 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M ) )
2241, 223syl5eq 2132 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  ( G `  n ) ,  0 ) ) ,  CC ) `  M )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664  DECID wdc 780    /\ w3a 924    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   E*wmo 1949   A.wral 2359   E.wrex 2360   _Vcvv 2619   [_csb 2931    C_ wss 2997   ifcif 3389   class class class wbr 3837    |-> cmpt 3891   iotacio 4965   -->wf 4998   -1-1-onto->wf1o 5001   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   Fincfn 6437   CCcc 7327   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    <_ cle 7502   NNcn 8394   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988   ...cfz 9393    seqcseq4 9816  ♯chash 10148    ~~> cli 10630   sum_csu 10706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-isom 5011  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-frec 6138  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-ihash 10149  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-clim 10631  df-isum 10707
This theorem is referenced by:  fsum3  10743  isumz  10745  fsumf1o  10746  fsumadd  10763  sumsnf  10766
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