Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fisumcvg Unicode version

Theorem fisumcvg 10730
 Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) Use fsum3cvg 10731 instead. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1
isummo.2
isummo.dc DECID
isumrb.3
fisumcvg.4
Assertion
Ref Expression
fisumcvg
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fisumcvg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2088 . 2
2 isumrb.3 . . 3
3 eluzelz 8997 . . 3
42, 3syl 14 . 2
5 iseqex 9821 . . 3
65a1i 9 . 2
7 eqid 2088 . . . 4
8 eluzel2 8993 . . . . 5
92, 8syl 14 . . . 4
10 eluzelz 8997 . . . . . . 7
1110adantl 271 . . . . . 6
12 iftrue 3394 . . . . . . . . . . 11
1312adantl 271 . . . . . . . . . 10
14 isummo.2 . . . . . . . . . 10
1513, 14eqeltrd 2164 . . . . . . . . 9
1615ex 113 . . . . . . . 8
1716adantr 270 . . . . . . 7
18 iffalse 3397 . . . . . . . . 9
19 0cn 7459 . . . . . . . . 9
2018, 19syl6eqel 2178 . . . . . . . 8
2120a1i 9 . . . . . . 7
22 isummo.dc . . . . . . . 8 DECID
23 exmiddc 782 . . . . . . . 8 DECID
2422, 23syl 14 . . . . . . 7
2517, 21, 24mpjaod 673 . . . . . 6
26 isummo.1 . . . . . . 7
2726fvmpt2 5370 . . . . . 6
2811, 25, 27syl2anc 403 . . . . 5
2928, 25eqeltrd 2164 . . . 4
307, 9, 29iserf 9868 . . 3
3130, 2ffvelrnd 5419 . 2
32 addid1 7599 . . . . 5
3332adantl 271 . . . 4
342adantr 270 . . . 4
35 simpr 108 . . . 4
3631adantr 270 . . . 4
37 elfzuz 9405 . . . . . 6
38 eluzelz 8997 . . . . . . . . 9
3938adantl 271 . . . . . . . 8
40 fisumcvg.4 . . . . . . . . . . . 12
4140sseld 3022 . . . . . . . . . . 11
42 fznuz 9483 . . . . . . . . . . 11
4341, 42syl6 33 . . . . . . . . . 10
4443con2d 589 . . . . . . . . 9
4544imp 122 . . . . . . . 8
4639, 45eldifd 3007 . . . . . . 7
47 fveq2 5289 . . . . . . . . 9
4847eqeq1d 2096 . . . . . . . 8
49 eldifi 3120 . . . . . . . . . 10
50 eldifn 3121 . . . . . . . . . . . 12
5150, 18syl 14 . . . . . . . . . . 11
5251, 19syl6eqel 2178 . . . . . . . . . 10
5349, 52, 27syl2anc 403 . . . . . . . . 9
5453, 51eqtrd 2120 . . . . . . . 8
5548, 54vtoclga 2685 . . . . . . 7
5646, 55syl 14 . . . . . 6
5737, 56sylan2 280 . . . . 5
5857adantlr 461 . . . 4
5947eleq1d 2156 . . . . 5
6029ralrimiva 2446 . . . . . 6
6160ad2antrr 472 . . . . 5
62 simpr 108 . . . . 5
6359, 61, 62rspcdva 2727 . . . 4
64 addcl 7446 . . . . 5
6564adantl 271 . . . 4
6633, 34, 35, 36, 58, 63, 65iseqid2 9906 . . 3
6766eqcomd 2093 . 2
681, 4, 6, 31, 67climconst 10642 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 102   wo 664  DECID wdc 780   wceq 1289   wcel 1438  wral 2359  cvv 2619   cdif 2994   wss 2997  cif 3389   class class class wbr 3837   cmpt 3891  cfv 5002  (class class class)co 5634  cc 7327  cc0 7329  c1 7330   caddc 7332  cz 8720  cuz 8988  cfz 9393   cseq4 9816   cli 10630 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-rp 9104  df-fz 9394  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-clim 10631 This theorem is referenced by:  isummolem2a  10735  fisumcvg2  10750
 Copyright terms: Public domain W3C validator