ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fisumsers Unicode version

Theorem fisumsers 10775
Description: Special case of series sum over a finite upper integer index set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsers.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
fsumsers.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsumsers.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumsers.dc  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
fsumsers.4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
Assertion
Ref Expression
fisumsers  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  N ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    k, N    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fisumsers
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2088 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 fsumsers.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3 eluzel2 9014 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
42, 3syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
5 fsumsers.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
6 fzssuz 9468 . . . 4  |-  ( M ... N )  C_  ( ZZ>= `  M )
75, 6syl6ss 3037 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
8 fsumsers.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
9 fsumsers.dc . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
109ralrimiva 2446 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  k  e.  A )
11 eleq1w 2148 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  A  <->  j  e.  A ) )
1211dcbid 786 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (DECID  k  e.  A  <-> DECID  j  e.  A )
)
1312cbvralv 2590 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  k  e.  A  <->  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
1410, 13sylib 120 . . 3  |-  ( ph  ->  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
15 fsumsers.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
161, 4, 7, 8, 14, 15zisum 10761 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ,  CC )
) )
17 fclim 10669 . . . 4  |-  ~~>  : dom  ~~>  --> CC
18 ffun 5158 . . . 4  |-  (  ~~>  : dom  ~~>  --> CC 
->  Fun  ~~>  )
1917, 18ax-mp 7 . . 3  |-  Fun  ~~>
208, 2, 15, 9, 5fisumcvg2 10773 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ,  CC ) 
~~>  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  N ) )
21 funbrfv 5337 . . 3  |-  ( Fun  ~~>  ->  (  seq M (  +  ,  F ,  CC )  ~~>  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  N )  ->  (  ~~>  ` 
seq M (  +  ,  F ,  CC ) )  =  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  N )
) )
2219, 20, 21mpsyl 64 . 2  |-  ( ph  ->  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ,  CC ) )  =  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  N )
)
2316, 22eqtrd 2120 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359    C_ wss 2999   ifcif 3391   class class class wbr 3843   dom cdm 4436   Fun wfun 5004   -->wf 5006   ` cfv 5010  (class class class)co 5644   CCcc 7338   0cc0 7340    + caddc 7343   ZZcz 8740   ZZ>=cuz 9009   ...cfz 9414    seqcseq4 9839    ~~> cli 10653   sum_csu 10729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-mulrcl 7434  ax-addcom 7435  ax-mulcom 7436  ax-addass 7437  ax-mulass 7438  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-1rid 7442  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-precex 7445  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451  ax-pre-mulgt0 7452  ax-pre-mulext 7453  ax-arch 7454  ax-caucvg 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-isom 5019  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-frec 6148  df-1o 6173  df-oadd 6177  df-er 6282  df-en 6448  df-dom 6449  df-fin 6450  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-reap 8042  df-ap 8049  df-div 8130  df-inn 8413  df-2 8471  df-3 8472  df-4 8473  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010  df-q 9095  df-rp 9125  df-fz 9415  df-fzo 9542  df-iseq 9841  df-seq3 9842  df-exp 9943  df-ihash 10172  df-cj 10264  df-re 10265  df-im 10266  df-rsqrt 10419  df-abs 10420  df-clim 10654  df-isum 10730
This theorem is referenced by:  fisumser  10777
  Copyright terms: Public domain W3C validator