ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmpt2 Unicode version

Theorem fmpt2 5971
Description: Functionality, domain and range of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
fmpt2.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
fmpt2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D  <->  F : ( A  X.  B ) --> D )
Distinct variable groups:    x, A, y   
x, B, y    x, D, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem fmpt2
StepHypRef Expression
1 fmpt2.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21fmpt2x 5970 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D  <->  F : U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
) --> D )
3 iunxpconst 4498 . . 3  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  =  ( A  X.  B )
43feq2i 5155 . 2  |-  ( F : U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B ) --> D  <-> 
F : ( A  X.  B ) --> D )
52, 4bitri 182 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D  <->  F : ( A  X.  B ) --> D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   {csn 3446   U_ciun 3730    X. cxp 4436   -->wf 5011    |-> cmpt2 5654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912
This theorem is referenced by:  fnmpt2  5972  fmpt2co  5981  eroprf  6385  mapxpen  6564  subf  7684  ixxf  9316  ioof  9389  fzf  9428  fzof  9555  gcdf  11242  eucalgf  11315
  Copyright terms: Public domain W3C validator