ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fodjuomnilemf Unicode version

Theorem fodjuomnilemf 6736
Description: Lemma for fodjuomni 6740. Domain and range of  P. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fodjuomni.o  |-  ( ph  ->  O  e. Omni )
fodjuomni.fo  |-  ( ph  ->  F : O -onto-> ( A B ) )
fodjuomni.p  |-  P  =  ( y  e.  O  |->  if ( E. z  e.  A  ( F `  y )  =  (inl
`  z ) ,  (/) ,  1o ) )
Assertion
Ref Expression
fodjuomnilemf  |-  ( ph  ->  P  e.  ( 2o 
^m  O ) )
Distinct variable groups:    ph, y, z   
y, O, z    z, A    z, B    z, F
Allowed substitution hints:    A( y)    B( y)    P( y, z)    F( y)

Proof of Theorem fodjuomnilemf
StepHypRef Expression
1 0ex 3939 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
21prid1 3530 . . . . . 6  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
3 df2o3 6142 . . . . . 6  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
42, 3eleqtrri 2160 . . . . 5  |-  (/)  e.  2o
54a1i 9 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  O )  ->  (/)  e.  2o )
6 1oex 6136 . . . . . . 7  |-  1o  e.  _V
76prid2 3531 . . . . . 6  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
87, 3eleqtrri 2160 . . . . 5  |-  1o  e.  2o
98a1i 9 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  O )  ->  1o  e.  2o )
10 fodjuomni.fo . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : O -onto-> ( A B ) )
1110fodjuomnilemdc 6735 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  O )  -> DECID  E. z  e.  A  ( F `  y )  =  (inl `  z
) )
125, 9, 11ifcldcd 3412 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  O )  ->  if ( E. z  e.  A  ( F `  y )  =  (inl `  z
) ,  (/) ,  1o )  e.  2o )
13 fodjuomni.p . . 3  |-  P  =  ( y  e.  O  |->  if ( E. z  e.  A  ( F `  y )  =  (inl
`  z ) ,  (/) ,  1o ) )
1412, 13fmptd 5408 . 2  |-  ( ph  ->  P : O --> 2o )
15 2onn 6225 . . . 4  |-  2o  e.  om
1615a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  2o  e.  om )
17 fodjuomni.o . . 3  |-  ( ph  ->  O  e. Omni )
1816, 17elmapd 6364 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( 2o  ^m  O )  <-> 
P : O --> 2o ) )
1914, 18mpbird 165 1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( 2o 
^m  O ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1287    e. wcel 1436   E.wrex 2356   (/)c0 3275   ifcif 3379   {cpr 3431    |-> cmpt 3873   omcom 4376   -->wf 4973   -onto->wfo 4975   ` cfv 4977  (class class class)co 5606   1oc1o 6121   2oc2o 6122    ^m cmap 6350   ⊔ cdju 6666  inlcinl 6673  Omnicomni 6724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3930  ax-nul 3938  ax-pow 3982  ax-pr 4008  ax-un 4232  ax-setind 4324
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3416  df-sn 3436  df-pr 3437  df-op 3439  df-uni 3636  df-int 3671  df-br 3820  df-opab 3874  df-mpt 3875  df-tr 3910  df-id 4092  df-iord 4165  df-on 4167  df-suc 4170  df-iom 4377  df-xp 4415  df-rel 4416  df-cnv 4417  df-co 4418  df-dm 4419  df-rn 4420  df-res 4421  df-ima 4422  df-iota 4942  df-fun 4979  df-fn 4980  df-f 4981  df-fo 4983  df-fv 4985  df-ov 5609  df-oprab 5610  df-mpt2 5611  df-1st 5861  df-2nd 5862  df-1o 6128  df-2o 6129  df-map 6352  df-dju 6667  df-inl 6675  df-inr 6676
This theorem is referenced by:  fodjuomnilemres  6739
  Copyright terms: Public domain W3C validator