Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ibcval5 Unicode version

Theorem ibcval5 10232
 Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient explicitly. In this form, it is valid even for , although it is no longer valid for nonpositive . (Contributed by Jim Kingdon, 6-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
ibcval5

Proof of Theorem ibcval5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcval2 10219 . . . 4
3 simprl 499 . . . . . . . . 9
4 simprr 500 . . . . . . . . 9
53, 4mulcld 7569 . . . . . . . 8
6 simpr1 950 . . . . . . . . 9
7 simpr2 951 . . . . . . . . 9
8 simpr3 952 . . . . . . . . 9
96, 7, 8mulassd 7572 . . . . . . . 8
10 simpll 497 . . . . . . . . . . . . 13
1110nn0zd 8927 . . . . . . . . . . . 12
12 simplr 498 . . . . . . . . . . . . 13
1312nnzd 8928 . . . . . . . . . . . 12
1411, 13zsubcld 8934 . . . . . . . . . . 11
1514peano2zd 8932 . . . . . . . . . 10
16 1red 7564 . . . . . . . . . . . 12
1712nnred 8496 . . . . . . . . . . . 12
1810nn0red 8788 . . . . . . . . . . . 12
1912nnge1d 8526 . . . . . . . . . . . 12
2016, 17, 18, 19lesub2dd 8100 . . . . . . . . . . 11
2114zred 8929 . . . . . . . . . . . 12
22 leaddsub 7977 . . . . . . . . . . . 12
2321, 16, 18, 22syl3anc 1175 . . . . . . . . . . 11
2420, 23mpbird 166 . . . . . . . . . 10
25 eluz2 9086 . . . . . . . . . 10
2615, 11, 24, 25syl3anbrc 1128 . . . . . . . . 9
2726adantrr 464 . . . . . . . 8
28 simprr 500 . . . . . . . . 9
29 nnuz 9115 . . . . . . . . 9
3028, 29syl6eleq 2181 . . . . . . . 8
31 vex 2623 . . . . . . . . . 10
32 fvi 5374 . . . . . . . . . 10
3331, 32ax-mp 7 . . . . . . . . 9
34 eluzelcn 9091 . . . . . . . . . 10
3534adantl 272 . . . . . . . . 9
3633, 35syl5eqel 2175 . . . . . . . 8
375, 9, 27, 30, 36iseqsplit 9969 . . . . . . 7
38 elfzuz3 9498 . . . . . . . . . . 11
3938adantl 272 . . . . . . . . . 10
40 eluznn 9148 . . . . . . . . . 10
4112, 39, 40syl2anc 404 . . . . . . . . 9
4241adantrr 464 . . . . . . . 8
43 facnn 10196 . . . . . . . 8
4442, 43syl 14 . . . . . . 7
45 facnn 10196 . . . . . . . . 9
4628, 45syl 14 . . . . . . . 8
4746oveq1d 5681 . . . . . . 7
4837, 44, 473eqtr4d 2131 . . . . . 6
4948expr 368 . . . . 5
5010faccld 10205 . . . . . . . . 9
5150nncnd 8497 . . . . . . . 8
5251mulid2d 7567 . . . . . . 7
5341, 43syl 14 . . . . . . . 8
5453oveq2d 5682 . . . . . . 7
5552, 54eqtr3d 2123 . . . . . 6
56 fveq2 5318 . . . . . . . . 9
57 fac0 10197 . . . . . . . . 9
5856, 57syl6eq 2137 . . . . . . . 8
59 oveq1 5673 . . . . . . . . . . 11
60 0p1e1 8597 . . . . . . . . . . 11
6159, 60syl6eq 2137 . . . . . . . . . 10
62 iseqeq1 9919 . . . . . . . . . 10
6361, 62syl 14 . . . . . . . . 9
6463fveq1d 5320 . . . . . . . 8
6558, 64oveq12d 5684 . . . . . . 7
6665eqeq2d 2100 . . . . . 6
6755, 66syl5ibrcom 156 . . . . 5
68 fznn0sub 9532 . . . . . . 7
6968adantl 272 . . . . . 6
70 elnn0 8736 . . . . . 6
7169, 70sylib 121 . . . . 5
7249, 67, 71mpjaod 674 . . . 4
7372oveq1d 5681 . . 3
74 vex 2623 . . . . . . 7
75 fvi 5374 . . . . . . 7
7674, 75ax-mp 7 . . . . . 6
77 eluzelcn 9091 . . . . . . 7
7877adantl 272 . . . . . 6
7976, 78syl5eqel 2175 . . . . 5
80 mulcl 7530 . . . . . 6
8180adantl 272 . . . . 5
8226, 79, 81iseqcl 9942 . . . 4
8312nnnn0d 8787 . . . . . 6
8483faccld 10205 . . . . 5
8584nncnd 8497 . . . 4
8669faccld 10205 . . . . 5
8786nncnd 8497 . . . 4
8884nnap0d 8529 . . . 4 #
8986nnap0d 8529 . . . 4 #
9082, 85, 87, 88, 89divcanap5d 8345 . . 3
912, 73, 903eqtrd 2125 . 2
92 simplr 498 . . . . . . 7
9392nnnn0d 8787 . . . . . 6
9493faccld 10205 . . . . 5
9594nncnd 8497 . . . 4
9694nnap0d 8529 . . . 4 #
9795, 96div0apd 8315 . . 3
98 mulcl 7530 . . . . . 6
9998adantl 272 . . . . 5
100 eluzelcn 9091 . . . . . . 7
101100adantl 272 . . . . . 6
10233, 101syl5eqel 2175 . . . . 5
103 cnex 7527 . . . . . 6
104103a1i 9 . . . . 5
105 simpr 109 . . . . . 6
106105mul02d 7931 . . . . 5
107105mul01d 7932 . . . . 5
108 simpr 109 . . . . . . . . 9
109 nn0uz 9114 . . . . . . . . . . . 12
11093, 109syl6eleq 2181 . . . . . . . . . . 11
111 simpll 497 . . . . . . . . . . . 12
112111nn0zd 8927 . . . . . . . . . . 11
113 elfz5 9493 . . . . . . . . . . 11
114110, 112, 113syl2anc 404 . . . . . . . . . 10
115 nn0re 8743 . . . . . . . . . . . 12
116115ad2antrr 473 . . . . . . . . . . 11
117 nnre 8490 . . . . . . . . . . . 12
118117ad2antlr 474 . . . . . . . . . . 11
119116, 118subge0d 8073 . . . . . . . . . 10
120114, 119bitr4d 190 . . . . . . . . 9
121108, 120mtbid 633 . . . . . . . 8
122 simpl 108 . . . . . . . . . . . 12
123122nn0zd 8927 . . . . . . . . . . 11
124 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12
125124nnzd 8928 . . . . . . . . . . 11
126123, 125zsubcld 8934 . . . . . . . . . 10
127126adantr 271 . . . . . . . . 9
128 0z 8822 . . . . . . . . 9
129 zltnle 8857 . . . . . . . . 9
130127, 128, 129sylancl 405 . . . . . . . 8
131121, 130mpbird 166 . . . . . . 7
132 zltp1le 8865 . . . . . . . 8
133127, 128, 132sylancl 405 . . . . . . 7
134131, 133mpbid 146 . . . . . 6
135 nn0ge0 8759 . . . . . . 7
136135ad2antrr 473 . . . . . 6
137 0zd 8823 . . . . . . 7
138127peano2zd 8932 . . . . . . 7
139 elfz 9491 . . . . . . 7
140137, 138, 112, 139syl3anc 1175 . . . . . 6
141134, 136, 140mpbir2and 891 . . . . 5
142 elex 2631 . . . . . 6
143142ad2antrr 473 . . . . 5
144 0cn 7541 . . . . . 6
145 fvi 5374 . . . . . 6
146144, 145mp1i 10 . . . . 5
14799, 102, 104, 106, 107, 141, 143, 146iseqz 10004 . . . 4
148147oveq1d 5681 . . 3
149 nnz 8830 . . . . 5
150 bcval3 10220 . . . . 5
151149, 150syl3an2 1209 . . . 4
1521513expa 1144 . . 3
15397, 148, 1523eqtr4rd 2132 . 2
154 0zd 8823 . . . 4
155 fzdcel 9515 . . . 4 DECID
156125, 154, 123, 155syl3anc 1175 . . 3 DECID
157 exmiddc 783 . . 3 DECID
158156, 157syl 14 . 2
15991, 153, 158mpjaodan 748 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 665  DECID wdc 781   w3a 925   wceq 1290   wcel 1439  cvv 2620   class class class wbr 3851   cid 4124  cfv 5028  (class class class)co 5666  cc 7409  cr 7410  cc0 7411  c1 7412   caddc 7414   cmul 7416   clt 7583   cle 7584   cmin 7714   cdiv 8200  cn 8483  cn0 8734  cz 8811  cuz 9080  cfz 9485   cseq4 9912  cfa 10194   cbc 10216 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-q 9166  df-fz 9486  df-iseq 9914  df-fac 10195  df-bc 10217 This theorem is referenced by:  bcn2  10233
 Copyright terms: Public domain W3C validator