ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ibcval5 Unicode version

Theorem ibcval5 10136
Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient  ( N  _C  K )  =  ( N  x.  ( N  -  1 )  x. 
...  x.  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  /  K ! explicitly. In this form, it is valid even for  N  <  K, although it is no longer valid for nonpositive  K. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
ibcval5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =  ( (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N )  /  ( ! `  K ) ) )

Proof of Theorem ibcval5
Dummy variables  x  k  y  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcval2 10123 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
21adantl 271 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )
3 simprl 498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
k  e.  CC )
4 simprr 499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  x  e.  CC )
53, 4mulcld 7487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( k  x.  x
)  e.  CC )
6 simpr1 949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
k  e.  CC )
7 simpr2 950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  x  e.  CC )
8 simpr3 951 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
y  e.  CC )
96, 7, 8mulassd 7490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( k  x.  x )  x.  y
)  =  ( k  x.  ( x  x.  y ) ) )
10 simpll 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
1110nn0zd 8836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ZZ )
12 simplr 497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  NN )
1312nnzd 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  ZZ )
1411, 13zsubcld 8843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
1514peano2zd 8841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ )
16 1red 7482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  1  e.  RR )
1712nnred 8407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  RR )
1810nn0red 8697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  RR )
1912nnge1d 8436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  1  <_  K )
2016, 17, 18, 19lesub2dd 8015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  <_  ( N  -  1 ) )
2114zred 8838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  RR )
22 leaddsub 7895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N  <->  ( N  -  K )  <_  ( N  -  1 ) ) )
2321, 16, 18, 22syl3anc 1174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  N  <->  ( N  -  K )  <_  ( N  -  1 ) ) )
2420, 23mpbird 165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N )
25 eluz2 8994 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  <->  ( ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  N ) )
2615, 11, 24, 25syl3anbrc 1127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
2726adantrr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
28 simprr 499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  e.  NN )
29 nnuz 9023 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3028, 29syl6eleq 2180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
31 vex 2622 . . . . . . . . . 10  |-  k  e. 
_V
32 fvi 5345 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  _V  ->  (  _I  `  k )  =  k )
3331, 32ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  (  _I 
`  k )  =  k
34 eluzelcn 8999 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  k  e.  CC )
3534adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  CC )
3633, 35syl5eqel 2174 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  ( N  -  K
)  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
375, 9, 27, 30, 36iseqsplit 9873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  ( N  -  K ) )  x.  (  seq (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N
) ) )
38 elfzuz3 9406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3938adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
40 eluznn 9056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )  ->  N  e.  NN )
4112, 39, 40syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN )
4241adantrr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  N  e.  NN )
43 facnn 10100 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N
) )
4442, 43syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N
) )
45 facnn 10100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  ( N  -  K ) ) )
4628, 45syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  ( N  -  K ) ) )
4746oveq1d 5649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N ) )  =  ( (  seq 1
(  x.  ,  _I  ,  CC ) `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N ) ) )
4837, 44, 473eqtr4d 2130 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( N  -  K )  e.  NN ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N ) ) )
4948expr 367 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N ) ) ) )
5010faccld 10109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
5150nncnd 8408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
5251mulid2d 7485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
5341, 43syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N )
)
5453oveq2d 5650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 1  x.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N ) ) )
5552, 54eqtr3d 2122 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( 1  x.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N ) ) )
56 fveq2 5289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  ( ! `  0
) )
57 fac0 10101 . . . . . . . . 9  |-  ( ! `
 0 )  =  1
5856, 57syl6eq 2136 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  ( N  -  K ) )  =  1 )
59 oveq1 5641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
60 0p1e1 8507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
6159, 60syl6eq 2136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  =  1 )
62 iseqeq1 9823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  K
)  +  1 )  =  1  ->  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC )  =  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) )
6361, 62syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC )  =  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) )
6463fveq1d 5291 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N )
)
6558, 64oveq12d 5652 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N ) )  =  ( 1  x.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N ) ) )
6665eqeq2d 2099 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  =  0  ->  (
( ! `  N
)  =  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  (  seq (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N
) )  <->  ( ! `  N )  =  ( 1  x.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N ) ) ) )
6755, 66syl5ibrcom 155 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N ) ) ) )
68 fznn0sub 9439 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
6968adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
70 elnn0 8645 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  K )  e.  NN  \/  ( N  -  K )  =  0 ) )
7169, 70sylib 120 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  e.  NN  \/  ( N  -  K )  =  0 ) )
7249, 67, 71mpjaod 673 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N ) ) )
7372oveq1d 5649 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N ) )  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )
74 vex 2622 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
75 fvi 5345 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  _V  ->  (  _I  `  f )  =  f )
7674, 75ax-mp 7 . . . . . 6  |-  (  _I 
`  f )  =  f
77 eluzelcn 8999 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  f  e.  CC )
7877adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  f  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  ->  f  e.  CC )
7976, 78syl5eqel 2174 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  f  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  ->  (  _I  `  f )  e.  CC )
80 mulcl 7448 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC )  ->  ( f  x.  g
)  e.  CC )
8180adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
f  e.  CC  /\  g  e.  CC )
)  ->  ( f  x.  g )  e.  CC )
8226, 79, 81iseqcl 9846 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N )  e.  CC )
8312nnnn0d 8696 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  NN0 )
8483faccld 10109 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  e.  NN )
8584nncnd 8408 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
8669faccld 10109 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  e.  NN )
8786nncnd 8408 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  e.  CC )
8884nnap0d 8439 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K ) #  0 )
8986nnap0d 8439 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) ) #  0 )
9082, 85, 87, 88, 89divcanap5d 8256 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N ) )  / 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) )  =  ( (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N )  /  ( ! `  K ) ) )
912, 73, 903eqtrd 2124 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N )  /  ( ! `  K ) ) )
92 simplr 497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  NN )
9392nnnn0d 8696 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  NN0 )
9493faccld 10109 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( ! `  K )  e.  NN )
9594nncnd 8408 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
9694nnap0d 8439 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( ! `  K ) #  0 )
9795, 96div0apd 8228 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  /  ( ! `
 K ) )  =  0 )
98 mulcl 7448 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  x.  x
)  e.  CC )
9998adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  (
k  e.  CC  /\  x  e.  CC )
)  ->  ( k  x.  x )  e.  CC )
100 eluzelcn 8999 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
( N  -  K
)  +  1 ) )  ->  k  e.  CC )
101100adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
10233, 101syl5eqel 2174 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  ->  (  _I  `  k )  e.  CC )
103 cnex 7445 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
104103a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  CC  e.  _V )
105 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  CC )  ->  k  e.  CC )
106105mul02d 7849 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  CC )  ->  (
0  x.  k )  =  0 )
107105mul01d 7850 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  /\  k  e.  CC )  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
108 simpr 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )
109 nn0uz 9022 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
11093, 109syl6eleq 2180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
111 simpll 496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  NN0 )
112111nn0zd 8836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  ZZ )
113 elfz5 9401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  K  <_  N ) )
114110, 112, 113syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  K  <_  N ) )
115 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
116115ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  RR )
117 nnre 8401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
118117ad2antlr 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  RR )
119116, 118subge0d 7988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  <_  ( N  -  K )  <->  K  <_  N ) )
120114, 119bitr4d 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  0  <_  ( N  -  K ) ) )
121108, 120mtbid 632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  -.  0  <_  ( N  -  K ) )
122 simpl 107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
123122nn0zd 8836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
124 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  K  e.  NN )
125124nnzd 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  K  e.  ZZ )
126123, 125zsubcld 8843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  -  K
)  e.  ZZ )
127126adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
128 0z 8731 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
129 zltnle 8766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <  0  <->  -.  0  <_  ( N  -  K ) ) )
130127, 128, 129sylancl 404 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( N  -  K
) ) )
131121, 130mpbird 165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  K )  <  0 )
132 zltp1le 8774 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  K )  <  0  <->  ( ( N  -  K
)  +  1 )  <_  0 ) )
133127, 128, 132sylancl 404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  <  0  <->  ( ( N  -  K )  +  1 )  <_ 
0 ) )
134131, 133mpbid 145 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  0 )
135 nn0ge0 8668 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
136135ad2antrr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  <_  N )
137 0zd 8732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  e.  ZZ )
138127peano2zd 8841 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  -  K
)  +  1 )  e.  ZZ )
139 elfz 9399 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  <-> 
( ( ( N  -  K )  +  1 )  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
140137, 138, 112, 139syl3anc 1174 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  e.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N )  <->  ( (
( N  -  K
)  +  1 )  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
141134, 136, 140mpbir2and 890 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )
142 elex 2630 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e. 
_V )
143142ad2antrr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  _V )
144 0cn 7459 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
145 fvi 5345 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  CC  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
146144, 145mp1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
14799, 102, 104, 106, 107, 141, 143, 146iseqz 9908 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N )  =  0 )
148147oveq1d 5649 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
(  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N )  /  ( ! `  K ) )  =  ( 0  /  ( ! `  K )
) )
149 nnz 8739 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  ZZ )
150 bcval3 10124 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
151149, 150syl3an2 1208 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
1521513expa 1143 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
15397, 148, 1523eqtr4rd 2131 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( (  seq (
( N  -  K
)  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N
)  /  ( ! `
 K ) ) )
154 0zd 8732 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
155 fzdcel 9423 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  K  e.  (
0 ... N ) )
156125, 154, 123, 155syl3anc 1174 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  -> DECID  K  e.  ( 0 ... N ) )
157 exmiddc 782 . . 3  |-  (DECID  K  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( K  e.  ( 0 ... N
)  \/  -.  K  e.  ( 0 ... N
) ) )
158156, 157syl 14 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  \/  -.  K  e.  ( 0 ... N
) ) )
15991, 153, 158mpjaodan 747 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  _C  K
)  =  ( (  seq ( ( N  -  K )  +  1 ) (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N )  /  ( ! `  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664  DECID wdc 780    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   class class class wbr 3837    _I cid 4106   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632    / cdiv 8113   NNcn 8394   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988   ...cfz 9393    seqcseq4 9816   !cfa 10098    _C cbc 10120
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-fz 9394  df-iseq 9818  df-fac 10099  df-bc 10121
This theorem is referenced by:  bcn2  10137
  Copyright terms: Public domain W3C validator