ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseq1p Unicode version

Theorem iseq1p 9772
Description: Removing the first term from a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqsplit.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqsplit.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
iseqsplit.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
iseqsplit.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
iseq1p.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseq1p.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
Assertion
Ref Expression
iseq1p  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  N
)  =  ( ( F `  M ) 
.+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `  N
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, F    x, M, y, z    ph, x, y, z   
x, N, y, z   
x,  .+ , y, z    x, S, y, z
Allowed substitution hints:    V( x, y, z)

Proof of Theorem iseq1p
StepHypRef Expression
1 iseqsplit.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
2 iseqsplit.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
3 iseqsplit.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
4 iseqsplit.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
5 iseq1p.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
6 uzid 8926 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
8 iseq1p.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
91, 2, 3, 4, 7, 8iseqsplit 9771 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  N
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `
 N ) ) )
105, 8, 1iseq1 9750 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
1110oveq1d 5604 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ,  S ) `  N ) )  =  ( ( F `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `  N ) ) )
129, 11eqtrd 2115 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  N
)  =  ( ( F `  M ) 
.+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ,  S ) `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   ` cfv 4967  (class class class)co 5589   1c1 7252    + caddc 7254   ZZcz 8644   ZZ>=cuz 8912    seqcseq 9738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-addcom 7346  ax-addass 7348  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-ltadd 7362
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-frec 6086  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-inn 8315  df-n0 8564  df-z 8645  df-uz 8913  df-fz 9318  df-iseq 9739
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator