ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseq1t Unicode version

Theorem iseq1t 9753
Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseq1t.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseq1t.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
iseq1t.pl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseq1t.t  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
Assertion
Ref Expression
iseq1t  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  T ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
Distinct variable groups:    x,  .+ , y    x, F, y    x, M, y    x, S, y   
x, T, y    ph, x, y

Proof of Theorem iseq1t
Dummy variables  a  b  w  z  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseq1t.m . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 fveq2 5253 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
32eleq1d 2151 . . 3  |-  ( x  =  M  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  M )  e.  S
) )
4 iseq1t.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
54ralrimiva 2440 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  x )  e.  S )
6 uzid 8928 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
71, 6syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
83, 5, 7rspcdva 2717 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  S )
9 iseq1t.t . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
10 iseq1t.pl . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
114, 10iseqovex 9748 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )  e.  S )
12 iseqvalcbv 9750 . 2  |- frec ( ( a  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  b  e.  T  |->  <. (
a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. )  = frec (
( x  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  y  e.  T  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
131, 12, 4, 10, 9iseqvalt 9751 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  T )  =  ran frec ( (
a  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  b  e.  T  |->  <. (
a  +  1 ) ,  ( a ( c  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  d  e.  S  |->  ( d 
.+  ( F `  ( c  +  1 ) ) ) ) b ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. ) )
141, 8, 9, 11, 12, 13frecuzrdg0t 9718 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  T ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434    C_ wss 2984   <.cop 3425   ` cfv 4969  (class class class)co 5591    |-> cmpt2 5593  freccfrec 6087   1c1 7254    + caddc 7256   ZZcz 8646   ZZ>=cuz 8914    seqcseq 9740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-frec 6088  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-iseq 9741
This theorem is referenced by:  iseqsst  9761
  Copyright terms: Public domain W3C validator