Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqcaopr Unicode version

Theorem iseqcaopr 9966
 Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqcaopr.1
iseqcaopr.2
iseqcaopr.3
iseqcaopr.4
iseqcaopr.5
iseqcaopr.6
iseqcaopr.7
iseqcaopr.s
Assertion
Ref Expression
iseqcaopr
Distinct variable groups:   ,,,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem iseqcaopr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqcaopr.1 . . 3
21caovclg 5811 . 2
3 simpl 108 . . . . . . 7
4 simprrl 507 . . . . . . 7
5 simprlr 506 . . . . . . 7
6 iseqcaopr.2 . . . . . . . 8
76caovcomg 5814 . . . . . . 7
83, 4, 5, 7syl12anc 1173 . . . . . 6
98oveq1d 5681 . . . . 5
10 simprrr 508 . . . . . 6
11 iseqcaopr.3 . . . . . . 7
1211caovassg 5817 . . . . . 6
133, 4, 5, 10, 12syl13anc 1177 . . . . 5
1411caovassg 5817 . . . . . 6
153, 5, 4, 10, 14syl13anc 1177 . . . . 5
169, 13, 153eqtr3d 2129 . . . 4
1716oveq2d 5682 . . 3
18 simprll 505 . . . 4
191caovclg 5811 . . . . 5
203, 5, 10, 19syl12anc 1173 . . . 4
2111caovassg 5817 . . . 4
223, 18, 4, 20, 21syl13anc 1177 . . 3
231caovclg 5811 . . . . 5
2423adantrl 463 . . . 4
2511caovassg 5817 . . . 4
263, 18, 5, 24, 25syl13anc 1177 . . 3
2717, 22, 263eqtr4d 2131 . 2
28 iseqcaopr.4 . 2
29 iseqcaopr.5 . 2
30 iseqcaopr.6 . 2
31 iseqcaopr.7 . 2
32 iseqcaopr.s . 2
332, 2, 27, 28, 29, 30, 31, 32iseqcaopr2 9965 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   w3a 925   wceq 1290   wcel 1439  cfv 5028  (class class class)co 5666  cuz 9073   cseq4 9905 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-ltadd 7515 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-inn 8477  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-fz 9479  df-fzo 9608  df-iseq 9907 This theorem is referenced by:  iseradd  9988
 Copyright terms: Public domain W3C validator