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Theorem iseqcaopr2 9911
Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqcaopr2.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqcaopr2.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
iseqcaopr2.3  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( z  e.  S  /\  w  e.  S
) ) )  -> 
( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
iseqcaopr2.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqcaopr2.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  S
)
iseqcaopr2.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  S
)
iseqcaopr2.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
iseqcaopr2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
Assertion
Ref Expression
iseqcaopr2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ,  S ) `  N
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 N ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  N
) ) )
Distinct variable groups:    w,  .+ , x, y, z    k, F, w, x, y, z    k, G, w, x, y, z   
k, H, x, y, z    k, M, w, x, y, z    k, N, x, y, z    Q, k, w, x, y, z    S, k, w, x, y, z    ph, k, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    H( w)    N( w)    V( x, y, z, w, k)

Proof of Theorem iseqcaopr2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqcaopr2.1 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
2 iseqcaopr2.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
3 iseqcaopr2.4 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 iseqcaopr2.5 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  S
)
5 iseqcaopr2.6 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  S
)
6 iseqcaopr2.7 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
7 elfzouz 9562 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
87adantl 271 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
95ralrimiva 2446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  e.  S )
109adantr 270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  e.  S )
11 fveq2 5305 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  ( G `  k )  =  ( G `  x ) )
1211eleq1d 2156 . . . . . 6  |-  ( k  =  x  ->  (
( G `  k
)  e.  S  <->  ( G `  x )  e.  S
) )
1312rspccva 2721 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  e.  S  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
1410, 13sylan 277 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
151adantlr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
168, 14, 15iseqcl 9881 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  e.  S )
17 fzssuz 9479 . . . . 5  |-  ( M ... N )  C_  ( ZZ>= `  M )
18 fzofzp1 9638 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
1917, 18sseldi 3023 . . . 4  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
20 fveq2 5305 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
2120eleq1d 2156 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( G `  k
)  e.  S  <->  ( G `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
2221rspccva 2721 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  e.  S  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )  ->  ( G `  ( n  +  1 ) )  e.  S )
239, 19, 22syl2an 283 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( G `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
244ralrimiva 2446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  e.  S )
25 fveq2 5305 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
2625eleq1d 2156 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  (
( F `  k
)  e.  S  <->  ( F `  x )  e.  S
) )
2726rspccva 2721 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  e.  S  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
2824, 27sylan 277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
2928adantlr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
308, 29, 15iseqcl 9881 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  e.  S )
31 fveq2 5305 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
3231eleq1d 2156 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
3332rspccva 2721 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  e.  S  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )
3424, 19, 33syl2an 283 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  S
)
35 iseqcaopr2.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  S  /\  y  e.  S )  /\  ( z  e.  S  /\  w  e.  S
) ) )  -> 
( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
3635anassrs 392 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S )
)  /\  ( z  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
3736ralrimivva 2455 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
3837ralrimivva 2455 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
3938adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( x Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) )
40 oveq1 5659 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  ->  ( x Q z )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
) Q z ) )
4140oveq1d 5667 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  ->  ( (
x Q z ) 
.+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q z )  .+  ( y Q w ) ) )
42 oveq1 5659 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  ->  ( x  .+  y )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  y )
)
4342oveq1d 5667 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  ->  ( (
x  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  .+  y
) Q ( z 
.+  w ) ) )
4441, 43eqeq12d 2102 . . . . . 6  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  ->  ( (
( x Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( x 
.+  y ) Q ( z  .+  w
) )  <->  ( (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) ) )
45442ralbidv 2402 . . . . 5  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  ->  ( A. z  e.  S  A. w  e.  S  (
( x Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( x 
.+  y ) Q ( z  .+  w
) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q z )  .+  (
y Q w ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) ) ) )
46 oveq1 5659 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
y Q w )  =  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )
4746oveq2d 5668 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
) Q z ) 
.+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q w ) ) )
48 oveq2 5660 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  y )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
4948oveq1d 5667 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z 
.+  w ) ) )
5047, 49eqeq12d 2102 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  <->  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q z )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z  .+  w
) ) ) )
51502ralbidv 2402 . . . . 5  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  y ) Q ( z  .+  w ) )  <->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z 
.+  w ) ) ) )
5245, 51rspc2va 2735 . . . 4  |-  ( ( ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  e.  S  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. w  e.  S  (
( x Q z )  .+  ( y Q w ) )  =  ( ( x 
.+  y ) Q ( z  .+  w
) ) )  ->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z 
.+  w ) ) )
5330, 34, 39, 52syl21anc 1173 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. z  e.  S  A. w  e.  S  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q z )  .+  ( ( F `  ( n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z 
.+  w ) ) )
54 oveq2 5660 . . . . . 6  |-  ( z  =  (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q z )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
) ) )
5554oveq1d 5667 . . . . 5  |-  ( z  =  (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  ->  ( (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q z )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  n ) )  .+  ( ( F `  ( n  +  1
) ) Q w ) ) )
56 oveq1 5659 . . . . . 6  |-  ( z  =  (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  ->  ( z  .+  w )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
)  .+  w )
)
5756oveq2d 5668 . . . . 5  |-  ( z  =  (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  ->  ( (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z 
.+  w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 n )  .+  w ) ) )
5855, 57eqeq12d 2102 . . . 4  |-  ( z  =  (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  ->  ( (
( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z 
.+  w ) )  <-> 
( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 n ) ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 n )  .+  w ) ) ) )
59 oveq2 5660 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q w )  =  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
6059oveq2d 5668 . . . . 5  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  n ) )  .+  ( ( F `  ( n  +  1
) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  n ) )  .+  ( ( F `  ( n  +  1
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
61 oveq2 5660 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 n )  .+  w )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
6261oveq2d 5668 . . . . 5  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  .+  w )
)  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
6360, 62eqeq12d 2102 . . . 4  |-  ( w  =  ( G `  ( n  +  1
) )  ->  (
( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n ) Q (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 n ) ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 n )  .+  w ) )  <->  ( (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
6458, 63rspc2va 2735 . . 3  |-  ( ( ( (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  e.  S  /\  ( G `  ( n  +  1 ) )  e.  S )  /\  A. z  e.  S  A. w  e.  S  (
( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  n
) Q z ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q w ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( z 
.+  w ) ) )  ->  ( (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
6516, 23, 53, 64syl21anc 1173 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
66 iseqcaopr2.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
671, 2, 3, 4, 5, 6, 65, 66iseqcaopr3 9910 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ,  S ) `  N
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 N ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   1c1 7351    + caddc 7353   ZZ>=cuz 9019   ...cfz 9424  ..^cfzo 9553    seqcseq4 9851
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853
This theorem is referenced by:  iseqcaopr  9912  isersub  9936
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