Theorem iseqcaopr2 9911

Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqcaopr2.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqcaopr2.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
iseqcaopr2.3	|- ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
iseqcaopr2.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqcaopr2.5	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
iseqcaopr2.6	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
iseqcaopr2.7	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
iseqcaopr2.s	|- ( ph -> S e. V )

Assertion

Ref	Expression
iseqcaopr2	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   w, .+ , x, y, z   k, F, w, x, y, z   k, G, w, x, y, z   k, H, x, y, z   k, M, w, x, y, z   k, N, x, y, z   Q, k, w, x, y, z   S, k, w, x, y, z   ph, k, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   H( w)   N( w)   V( x, y, z, w, k)

Proof of Theorem iseqcaopr2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqcaopr2.1	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		iseqcaopr2.2	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
3		iseqcaopr2.4	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		iseqcaopr2.5	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
5		iseqcaopr2.6	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
6		iseqcaopr2.7	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
7		elfzouz 9562	. . . . 5 |- ( n e. ( M..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
8	7	adantl 271	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
9	5	ralrimiva 2446	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S )
10	9	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S )
11		fveq2 5305	. . . . . . 7 |- ( k = x -> ( G ` k ) = ( G ` x ) )
12	11	eleq1d 2156	. . . . . 6 |- ( k = x -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` x ) e. S ) )
13	12	rspccva 2721	. . . . 5 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
14	10, 13	sylan 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
15	1	adantlr 461	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
16	8, 14, 15	iseqcl 9881	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) e. S )
17		fzssuz 9479	. . . . 5 |- ( M ... N ) C_ ( ZZ>= ` M )
18		fzofzp1 9638	. . . . 5 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
19	17, 18	sseldi 3023	. . . 4 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
20		fveq2 5305	. . . . . 6 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
21	20	eleq1d 2156	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
22	21	rspccva 2721	. . . 4 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S /\ ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
23	9, 19, 22	syl2an 283	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( G ` ( n + 1 ) ) e. S )
24	4	ralrimiva 2446	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S )
25		fveq2 5305	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
26	25	eleq1d 2156	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` x ) e. S ) )
27	26	rspccva 2721	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
28	24, 27	sylan 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
29	28	adantlr 461	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
30	8, 29, 15	iseqcl 9881	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) e. S )
31		fveq2 5305	. . . . . . 7 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
32	31	eleq1d 2156	. . . . . 6 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
33	32	rspccva 2721	. . . . 5 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S /\ ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
34	24, 19, 33	syl2an 283	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
35		iseqcaopr2.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
36	35	anassrs 392	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
37	36	ralrimivva 2455	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
38	37	ralrimivva 2455	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
39	38	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
40		oveq1 5659	. . . . . . . 8 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( x Q z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) )
41	40	oveq1d 5667	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) )
42		oveq1 5659	. . . . . . . 8 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( x .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) )
43	42	oveq1d 5667	. . . . . . 7 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) )
44	41, 43	eqeq12d 2102	. . . . . 6 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) )
45	44	2ralbidv 2402	. . . . 5 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) )
46		oveq1 5659	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( y Q w ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) )
47	46	oveq2d 5668	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) )
48		oveq2 5660	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
49	48	oveq1d 5667	. . . . . . 7 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
50	47, 49	eqeq12d 2102	. . . . . 6 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) )
51	50	2ralbidv 2402	. . . . 5 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) Q ( z .+ w ) ) <-> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) )
52	45, 51	rspc2va 2735	. . . 4 |- ( ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) /\ A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. w e. S ( ( x Q z ) .+ ( y Q w ) ) = ( ( x .+ y ) Q ( z .+ w ) ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
53	30, 34, 39, 52	syl21anc 1173	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) )
54		oveq2 5660	. . . . . 6 |- ( z = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) )
55	54	oveq1d 5667	. . . . 5 |- ( z = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) )
56		oveq1 5659	. . . . . 6 |- ( z = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) -> ( z .+ w ) = ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) )
57	56	oveq2d 5668	. . . . 5 |- ( z = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) ) )
58	55, 57	eqeq12d 2102	. . . 4 |- ( z = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) ) ) )
59		oveq2 5660	. . . . . 6 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
60	59	oveq2d 5668	. . . . 5 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
61		oveq2 5660	. . . . . 6 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) = ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
62	61	oveq2d 5668	. . . . 5 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
63	60, 62	eqeq12d 2102	. . . 4 |- ( w = ( G ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ w ) ) <-> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
64	58, 63	rspc2va 2735	. . 3 |- ( ( ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) e. S /\ ( G ` ( n + 1 ) ) e. S ) /\ A. z e. S A. w e. S ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q z ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q w ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( z .+ w ) ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
65	16, 23, 53, 64	syl21anc 1173	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
66		iseqcaopr2.s	. 2 |- ( ph -> S e. V )
67	1, 2, 3, 4, 5, 6, 65, 66	iseqcaopr3 9910	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   1c1 7351   + caddc 7353   ZZ>=cuz 9019   ...cfz 9424  ..^cfzo 9553   seqcseq4 9851

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853

This theorem is referenced by:  iseqcaopr  9912  isersub  9936