Theorem iseqcaopr3 9971

Description: Lemma for iseqcaopr2 . (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqcaopr3.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqcaopr3.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
iseqcaopr3.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqcaopr3.4	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
iseqcaopr3.5	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
iseqcaopr3.6	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
iseqcaopr3.7	|- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
iseqcaopr3.s	|- ( ph -> S e. V )

Assertion

Ref	Expression
iseqcaopr3	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   .+ , n, x, y   k, F, n, x, y   k, G, n, x, y   k, H, n, x, y   k, M, n, x, y   k, N, n, x, y   Q, k, n, x, y   S, k, n, x, y   ph, k, n, x, y

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   V( x, y, k, n)

Proof of Theorem iseqcaopr3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqcaopr3.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 9507	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5318	. . . . 5 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) )
5		fveq2 5318	. . . . . 6 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) )
6		fveq2 5318	. . . . . 6 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) )
7	5, 6	oveq12d 5684	. . . . 5 |- ( z = M -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) )
8	4, 7	eqeq12d 2103	. . . 4 |- ( z = M -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) ) )
9	8	imbi2d 229	. . 3 |- ( z = M -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) ) ) )
10		fveq2 5318	. . . . 5 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) )
11		fveq2 5318	. . . . . 6 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) )
12		fveq2 5318	. . . . . 6 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) )
13	11, 12	oveq12d 5684	. . . . 5 |- ( z = n -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) )
14	10, 13	eqeq12d 2103	. . . 4 |- ( z = n -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) ) )
15	14	imbi2d 229	. . 3 |- ( z = n -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) ) ) )
16		fveq2 5318	. . . . 5 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) )
17		fveq2 5318	. . . . . 6 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) )
18		fveq2 5318	. . . . . 6 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) )
19	17, 18	oveq12d 5684	. . . . 5 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) )
20	16, 19	eqeq12d 2103	. . . 4 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
21	20	imbi2d 229	. . 3 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
22		fveq2 5318	. . . . 5 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) )
23		fveq2 5318	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) )
24		fveq2 5318	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) )
25	23, 24	oveq12d 5684	. . . . 5 |- ( z = N -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )
26	22, 25	eqeq12d 2103	. . . 4 |- ( z = N -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) ) )
27	26	imbi2d 229	. . 3 |- ( z = N -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) ) ) )
28		fveq2 5318	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( H ` k ) = ( H ` M ) )
29		fveq2 5318	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
30		fveq2 5318	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( G ` k ) = ( G ` M ) )
31	29, 30	oveq12d 5684	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
32	28, 31	eqeq12d 2103	. . . . . 6 |- ( k = M -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) <-> ( H ` M ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) ) )
33		iseqcaopr3.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
34	33	ralrimiva 2447	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
35		eluzel2 9085	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
36	1, 35	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
37		uzid 9094	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
39	32, 34, 38	rspcdva 2728	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` M ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
40		iseqcaopr3.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
41	40	ralrimivva 2456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S )
42	41	adantr 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S )
43		iseqcaopr3.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
44		iseqcaopr3.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
45		oveq1 5673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( F ` k ) -> ( x Q y ) = ( ( F ` k ) Q y ) )
46	45	eleq1d 2157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( F ` k ) -> ( ( x Q y ) e. S <-> ( ( F ` k ) Q y ) e. S ) )
47		oveq2 5674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` k ) -> ( ( F ` k ) Q y ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
48	47	eleq1d 2157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( G ` k ) -> ( ( ( F ` k ) Q y ) e. S <-> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S ) )
49	46, 48	rspc2v 2735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) e. S /\ ( G ` k ) e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S ) )
50	43, 44, 49	syl2anc 404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S ) )
51	42, 50	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S )
52	33, 51	eqeltrd 2165	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) e. S )
53	52	ralrimiva 2447	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) e. S )
54		fveq2 5318	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( H ` k ) = ( H ` x ) )
55	54	eleq1d 2157	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( ( H ` k ) e. S <-> ( H ` x ) e. S ) )
56	55	rspcv 2719	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) e. S -> ( H ` x ) e. S ) )
57	53, 56	mpan9 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
58		iseqcaopr3.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
59	36, 57, 58	iseq1 9936	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) = ( H ` M ) )
60	43	ralrimiva 2447	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S )
61		fveq2 5318	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
62	61	eleq1d 2157	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` x ) e. S ) )
63	62	rspcv 2719	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S -> ( F ` x ) e. S ) )
64	60, 63	mpan9 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
65	36, 64, 58	iseq1 9936	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( F ` M ) )
66	44	ralrimiva 2447	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S )
67		fveq2 5318	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( G ` k ) = ( G ` x ) )
68	67	eleq1d 2157	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` x ) e. S ) )
69	68	rspcv 2719	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S -> ( G ` x ) e. S ) )
70	66, 69	mpan9 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
71	36, 70, 58	iseq1 9936	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) = ( G ` M ) )
72	65, 71	oveq12d 5684	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
73	39, 59, 72	3eqtr4d 2131	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) )
74	73	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) ) )
75		oveq1 5673	. . . . . 6 |- ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
76		elfzouz 9623	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( M..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
77	76	adantl 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
78	57	adantlr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
79	58	adantlr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
80	77, 78, 79	iseqp1 9943	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
81		iseqcaopr3.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
82		fveq2 5318	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( H ` k ) = ( H ` ( n + 1 ) ) )
83		fveq2 5318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
84		fveq2 5318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
85	83, 84	oveq12d 5684	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
86	82, 85	eqeq12d 2103	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) <-> ( H ` ( n + 1 ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
87	34	adantr 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
88		fzofzp1 9699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
89		elfzuz 9497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
90	88, 89	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
91	90	adantl 272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
92	86, 87, 91	rspcdva 2728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( H ` ( n + 1 ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
93	92	oveq2d 5682	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
94	64	adantlr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
95	77, 94, 79	iseqp1 9943	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
96	70	adantlr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
97	77, 96, 79	iseqp1 9943	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
98	95, 97	oveq12d 5684	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
99	81, 93, 98	3eqtr4rd 2132	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
100	80, 99	eqeq12d 2103	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) ) )
101	75, 100	syl5ibr 155	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
102	101	expcom 115	. . . 4 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
103	102	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
104	9, 15, 21, 27, 74, 103	fzind2 9711	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) ) )
105	3, 104	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   A.wral 2360   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   1c1 7412   + caddc 7414   ZZcz 8811   ZZ>=cuz 9080   ...cfz 9485  ..^cfzo 9614   seqcseq4 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-fz 9486  df-fzo 9615  df-iseq 9914

This theorem is referenced by:  iseqcaopr2  9972