Theorem iseqcl 9881

Description: Closure property of the recursive sequence builder.

New proofs should use seqf 9880 or seq3clss 9887 instead (together with iseqsst 9886 or iseqseq3 9902 if need be).

(Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqcl.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqcl.2	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iseqcl.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
iseqcl	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) e. S )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y

Proof of Theorem iseqcl

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqcl.1	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 9024	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		eqid 2088	. . 3 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M )
5		fveq2 5305	. . . . 5 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
6	5	eleq1d 2156	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` M ) e. S ) )
7		iseqcl.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
8	7	ralrimiva 2446	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
9		uzid 9033	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
10	3, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
11	6, 8, 10	rspcdva 2727	. . 3 |- ( ph -> ( F ` M ) e. S )
12		iseqcl.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
13	7, 12	iseqovex 9870	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. S )
14		eqid 2088	. . 3 |- frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
15	14, 7, 12	iseqval 9871	. . 3 |- ( ph -> seq M ( .+ , F , S ) = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
16	3, 4, 11, 13, 14, 15	frecuzrdgtcl 9819	. 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , F , S ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
17	16, 1	ffvelrnd 5435	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   <.cop 3449   |-> cmpt 3899   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   |-> cmpt2 5654  freccfrec 6155   1c1 7351   + caddc 7353   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   seqcseq4 9851

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-iseq 9853

This theorem is referenced by:  iseqp1  9882  iseqoveq  9885  isermono  9906  iseqsplit  9908  iseqcaopr2  9911  iseqid3  9937  iseqhomo  9942  iseqz  9943  iseqdistr  9945  ibcval5  10171  iseqcoll  10247  fisum  10778  ialgrp1  11306