Theorem iseqcl 9756

Description: Closure property of the recursive sequence builder. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqcl.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqcl.2	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iseqcl.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
iseqcl	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) e. S )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y

Proof of Theorem iseqcl

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqcl.1	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 8919	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		eqid 2083	. . 3 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M )
5		fveq2 5253	. . . . 5 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
6	5	eleq1d 2151	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` M ) e. S ) )
7		iseqcl.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
8	7	ralrimiva 2440	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
9		uzid 8928	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
10	3, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
11	6, 8, 10	rspcdva 2717	. . 3 |- ( ph -> ( F ` M ) e. S )
12		iseqcl.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
13	7, 12	iseqovex 9748	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. S )
14		eqid 2083	. . 3 |- frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
15	14, 7, 12	iseqval 9749	. . 3 |- ( ph -> seq M ( .+ , F , S ) = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
16	3, 4, 11, 13, 14, 15	frecuzrdgtcl 9708	. 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , F , S ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
17	16, 1	ffvelrnd 5380	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434   <.cop 3425   |-> cmpt 3865   ` cfv 4969  (class class class)co 5591   |-> cmpt2 5593  freccfrec 6087   1c1 7254   + caddc 7256   ZZcz 8646   ZZ>=cuz 8914   seqcseq 9740

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-ltadd 7364

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-frec 6088  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-iseq 9741

This theorem is referenced by:  iseqp1  9757  iseqoveq  9759  isermono  9772  iseqsplit  9773  iseqcaopr2  9776  iseqid3  9780  iseqhomo  9784  iseqz  9785  iseqdistr  9786  serige0  9789  serile  9790  expivallem  9793  expival  9794  ibcval5  10006  ialgrp1  10808