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Theorem iseqcoll 10212
Description: The function  F contains a sparse set of nonzero values to be summed. The function  G is an order isomorphism from the set of nonzero values of  F to a 1-based finite sequence, and  H collects these nonzero values together. Under these conditions, the sum over the values in  H yields the same result as the sum over the original set  F. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcoll.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  ( Z  .+  k )  =  k )
seqcoll.1b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  (
k  .+  Z )  =  k )
seqcoll.c  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  S  /\  n  e.  S ) )  -> 
( k  .+  n
)  e.  S )
seqcoll.a  |-  ( ph  ->  Z  e.  S )
seqcoll.2  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) )
seqcoll.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
seqcoll.4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
seqcoll.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  S
)
seqcoll.hcl  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( H `  k )  e.  S
)
seqcoll.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M ... ( G `  ( `  A
) ) )  \  A ) )  -> 
( F `  k
)  =  Z )
seqcoll.7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( H `  n )  =  ( F `  ( G `
 n ) ) )
Assertion
Ref Expression
iseqcoll  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  ( G `  N )
)  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `  N ) )
Distinct variable groups:    k, n, A   
k, F, n    k, G, n    k, H, n   
k, M, n    .+ , k, n    ph, k, n    S, k, n    k, Z, n
Allowed substitution hints:    N( k, n)

Proof of Theorem iseqcoll
Dummy variables  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcoll.3 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
2 elfznn 9437 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  N  e.  NN )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 eleq1 2150 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  (
y  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  <->  1  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) ) )
5 2fveq3 5294 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  y
) )  =  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G ` 
1 ) ) )
6 fveq2 5289 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `  y )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 1 ) )
75, 6eqeq12d 2102 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G `  y ) )  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  H ,  S ) `  y
)  <->  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  1 )
)  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `  1 ) ) )
84, 7imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (
( y  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  y
) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 y ) )  <-> 
( 1  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  1
) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 1 ) ) ) )
98imbi2d 228 . . . 4  |-  ( y  =  1  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  y
) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 y ) ) )  <->  ( ph  ->  ( 1  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  1
) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 1 ) ) ) ) )
10 eleq1 2150 . . . . . 6  |-  ( y  =  m  ->  (
y  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  <->  m  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) ) )
11 2fveq3 5294 . . . . . . 7  |-  ( y  =  m  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  y
) )  =  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G `  m ) ) )
12 fveq2 5289 . . . . . . 7  |-  ( y  =  m  ->  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `  y )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 m ) )
1311, 12eqeq12d 2102 . . . . . 6  |-  ( y  =  m  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G `  y ) )  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  H ,  S ) `  y
)  <->  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  m )
)  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `  m ) ) )
1410, 13imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( y  =  m  ->  (
( y  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  y
) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 y ) )  <-> 
( m  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  m
) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 m ) ) ) )
1514imbi2d 228 . . . 4  |-  ( y  =  m  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  y
) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 y ) ) )  <->  ( ph  ->  ( m  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  m
) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 m ) ) ) ) )
16 eleq1 2150 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  (
y  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  <->  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) ) )
17 2fveq3 5294 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  y
) )  =  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G `  ( m  +  1
) ) ) )
18 fveq2 5289 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `  y )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 ( m  + 
1 ) ) )
1917, 18eqeq12d 2102 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G `  y ) )  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  H ,  S ) `  y
)  <->  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  ( m  +  1 ) ) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `  ( m  +  1 ) ) ) )
2016, 19imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( y  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  y
) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 y ) )  <-> 
( ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  (
m  +  1 ) ) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
2120imbi2d 228 . . . 4  |-  ( y  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  y
) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 y ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  (
m  +  1 ) ) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) ) )
22 eleq1 2150 . . . . . 6  |-  ( y  =  N  ->  (
y  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  <->  N  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) ) )
23 2fveq3 5294 . . . . . . 7  |-  ( y  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  y
) )  =  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G `  N ) ) )
24 fveq2 5289 . . . . . . 7  |-  ( y  =  N  ->  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `  y )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 N ) )
2523, 24eqeq12d 2102 . . . . . 6  |-  ( y  =  N  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G `  y ) )  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  H ,  S ) `  y
)  <->  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  N )
)  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `  N ) ) )
2622, 25imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( y  =  N  ->  (
( y  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  y
) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 y ) )  <-> 
( N  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  N
) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 N ) ) ) )
2726imbi2d 228 . . . 4  |-  ( y  =  N  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  y
) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 y ) ) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  N
) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 N ) ) ) ) )
28 seqcoll.1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  ( Z  .+  k )  =  k )
29 seqcoll.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  S )
30 seqcoll.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
31 seqcoll.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) )
32 isof1o 5568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  A ) ) ,  A )  ->  G : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )
34 f1of 5237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A  ->  G : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
3533, 34syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
36 elfzuz2 9412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  ( `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
371, 36syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `  A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
38 eluzfz1 9414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `  A )  e.  (
ZZ>= `  1 )  -> 
1  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
3937, 38syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
4035, 39ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  A )
4130, 40sseldd 3024 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
42 eluzle 9000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `  A )  e.  (
ZZ>= `  1 )  -> 
1  <_  ( `  A
) )
4337, 42syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  ( `  A
) )
44 elfzelz 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  k  e.  ZZ )
4544ssriv 3027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... ( `  A
) )  C_  ZZ
46 zssre 8727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ZZ  C_  RR
4745, 46sstri 3032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... ( `  A
) )  C_  RR
4847a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( `  A ) )  C_  RR )
49 ressxr 7510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  RR*
5048, 49syl6ss 3035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( `  A ) )  C_  RR* )
51 eluzelre 8998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  RR )
5251ssriv 3027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
5330, 52syl6ss 3035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
5453, 49syl6ss 3035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
55 eluzfz2 9415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `  A )  e.  (
ZZ>= `  1 )  -> 
( `  A )  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )
5637, 55syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `  A )  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )
57 leisorel 10207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A )  /\  (
( 1 ... ( `  A ) )  C_  RR* 
/\  A  C_  RR* )  /\  ( 1  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  ( `  A )  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) ) )  ->  ( 1  <_ 
( `  A )  <->  ( G `  1 )  <_ 
( G `  ( `  A ) ) ) )
5831, 50, 54, 39, 56, 57syl122anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  ( `  A )  <->  ( G `  1 )  <_ 
( G `  ( `  A ) ) ) )
5943, 58mpbid 145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  <_  ( G `  ( `  A )
) )
6035, 56ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G `  ( `  A ) )  e.  A )
6130, 60sseldd 3024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  ( `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
62 eluzelz 8997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  ( `  A
) )  e.  (
ZZ>= `  M )  -> 
( G `  ( `  A ) )  e.  ZZ )
6361, 62syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G `  ( `  A ) )  e.  ZZ )
64 elfz5 9401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  1
)  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( G `  ( `  A
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( G `
 1 )  e.  ( M ... ( G `  ( `  A
) ) )  <->  ( G `  1 )  <_ 
( G `  ( `  A ) ) ) )
6541, 63, 64syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
1 )  e.  ( M ... ( G `
 ( `  A
) ) )  <->  ( G `  1 )  <_ 
( G `  ( `  A ) ) ) )
6659, 65mpbird 165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  ( M ... ( G `  ( `  A ) ) ) )
67 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( G ` 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( G `  1 ) ) )
6867eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( G ` 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  S  <->  ( F `  ( G `  1
) )  e.  S
) )
6968imbi2d 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( G ` 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 k )  e.  S )  <->  ( ph  ->  ( F `  ( G `  1 )
)  e.  S ) ) )
70 elfzuz 9405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M ... ( G `  ( `  A
) ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  M ) )
71 seqcoll.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  S
)
7271expcom 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( F `  k
)  e.  S ) )
7370, 72syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M ... ( G `  ( `  A
) ) )  -> 
( ph  ->  ( F `
 k )  e.  S ) )
7469, 73vtoclga 2685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  1 )  e.  ( M ... ( G `  ( `  A
) ) )  -> 
( ph  ->  ( F `
 ( G ` 
1 ) )  e.  S ) )
7566, 74mpcom 36 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  1 )
)  e.  S )
76 eluzelz 8997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( G `  1 )  e.  ZZ )
7741, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  ZZ )
78 peano2zm 8758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  1 )  e.  ZZ  ->  (
( G `  1
)  -  1 )  e.  ZZ )
7977, 78syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
1 )  -  1 )  e.  ZZ )
8079zred 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
1 )  -  1 )  e.  RR )
8177zred 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  RR )
8263zred 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G `  ( `  A ) )  e.  RR )
8381lem1d 8366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
1 )  -  1 )  <_  ( G `  1 ) )
8480, 81, 82, 83, 59letrd 7586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
1 )  -  1 )  <_  ( G `  ( `  A )
) )
85 eluz 9001 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G ` 
1 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( G `  ( `  A
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( G `
 ( `  A
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( G `
 1 )  - 
1 ) )  <->  ( ( G `  1 )  -  1 )  <_ 
( G `  ( `  A ) ) ) )
8679, 63, 85syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( G `  1
)  -  1 ) )  <->  ( ( G `
 1 )  - 
1 )  <_  ( G `  ( `  A
) ) ) )
8784, 86mpbird 165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  ( `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( G `  1 )  -  1 ) ) )
88 fzss2 9446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G `  ( `  A
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( G `
 1 )  - 
1 ) )  -> 
( M ... (
( G `  1
)  -  1 ) )  C_  ( M ... ( G `  ( `  A ) ) ) )
8987, 88syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( G `  1
)  -  1 ) )  C_  ( M ... ( G `  ( `  A ) ) ) )
9089sselda 3023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( ( G `  1 )  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... ( G `
 ( `  A
) ) ) )
91 eluzel2 8993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
9241, 91syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
93 elfzm11 9472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( G `  1 )  e.  ZZ )  -> 
( k  e.  ( M ... ( ( G `  1 )  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <  ( G ` 
1 ) ) ) )
9492, 77, 93syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( M ... ( ( G `  1 )  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <  ( G ` 
1 ) ) ) )
95 simp3 945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <  ( G `  1
) )  ->  k  <  ( G `  1
) )
9681adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( G `  1 )  e.  RR )
9753sselda 3023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  RR )
98 f1ocnv 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( G : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A  ->  `' G : A
-1-1-onto-> ( 1 ... ( `  A ) ) )
9933, 98syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  `' G : A -1-1-onto-> ( 1 ... ( `  A
) ) )
100 f1of 5237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( `' G : A -1-1-onto-> ( 1 ... ( `  A
) )  ->  `' G : A --> ( 1 ... ( `  A
) ) )
10199, 100syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  `' G : A --> ( 1 ... ( `  A
) ) )
102101ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( `' G `  k )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )
103 elfznn 9437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( `' G `  k )  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  ( `' G `  k )  e.  NN )
104102, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( `' G `  k )  e.  NN )
105104nnge1d 8436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  1  <_  ( `' G `  k ) )
10631adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  G  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) )
10750adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
1 ... ( `  A
) )  C_  RR* )
10854adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  A  C_ 
RR* )
10939adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  1  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )
110 leisorel 10207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A )  /\  (
( 1 ... ( `  A ) )  C_  RR* 
/\  A  C_  RR* )  /\  ( 1  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  ( `' G `  k )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) ) )  -> 
( 1  <_  ( `' G `  k )  <-> 
( G `  1
)  <_  ( G `  ( `' G `  k ) ) ) )
111106, 107, 108, 109, 102, 110syl122anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
1  <_  ( `' G `  k )  <->  ( G `  1 )  <_  ( G `  ( `' G `  k ) ) ) )
112105, 111mpbid 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( G `  1 )  <_  ( G `  ( `' G `  k ) ) )
113 f1ocnvfv2 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  k  e.  A )  ->  ( G `  ( `' G `  k )
)  =  k )
11433, 113sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( G `  ( `' G `  k )
)  =  k )
115112, 114breqtrd 3861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( G `  1 )  <_  k )
11696, 97, 115lensymd 7584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  <  ( G ` 
1 ) )
117116ex 113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  -.  k  <  ( G `  1 )
) )
118117con2d 589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  <  ( G `  1 )  ->  -.  k  e.  A
) )
11995, 118syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k  /\  k  <  ( G `  1 ) )  ->  -.  k  e.  A ) )
12094, 119sylbid 148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( M ... ( ( G `  1 )  -  1 ) )  ->  -.  k  e.  A ) )
121120imp 122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( ( G `  1 )  -  1 ) ) )  ->  -.  k  e.  A )
12290, 121eldifd 3007 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( ( G `  1 )  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ( M ... ( G `  ( `  A
) ) )  \  A ) )
123 seqcoll.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M ... ( G `  ( `  A
) ) )  \  A ) )  -> 
( F `  k
)  =  Z )
124122, 123syldan 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( ( G `  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  Z )
125 seqcoll.c . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  S  /\  n  e.  S ) )  -> 
( k  .+  n
)  e.  S )
12628, 29, 41, 75, 124, 71, 125iseqid 9904 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S )  |`  ( ZZ>=
`  ( G ` 
1 ) ) )  =  seq ( G `
 1 ) ( 
.+  ,  F ,  S ) )
127126fveq1d 5291 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S )  |`  ( ZZ>=
`  ( G ` 
1 ) ) ) `
 ( G ` 
1 ) )  =  (  seq ( G `
 1 ) ( 
.+  ,  F ,  S ) `  ( G `  1 )
) )
128 uzid 9002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  1 )  e.  ZZ  ->  ( G `  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )
12977, 128syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )
130 fvres 5313 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 )
)  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S )  |`  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) ) `  ( G `
 1 ) )  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  1 )
) )
131129, 130syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq M
(  .+  ,  F ,  S )  |`  ( ZZ>=
`  ( G ` 
1 ) ) ) `
 ( G ` 
1 ) )  =  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  ( G `  1 )
) )
13292adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
133 eluzelz 8997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 )
)  ->  k  e.  ZZ )
134133adantl 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
135132zred 8838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
13681adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( G `  1 )  e.  RR )
137134zred 8838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
138 eluzle 9000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  ( G `  1 ) )
13941, 138syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  <_  ( G `  1 ) )
140139adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  M  <_  ( G `  1 ) )
141 eluzle 9000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 )
)  ->  ( G `  1 )  <_ 
k )
142141adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( G `  1 )  <_ 
k )
143135, 136, 137, 140, 142letrd 7586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  M  <_  k )
144 eluz2 8994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k ) )
145132, 134, 143, 144syl3anbrc 1127 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
146145, 71syldan 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( G `  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  S
)
14777, 146, 125iseq1 9840 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq ( G `
 1 ) ( 
.+  ,  F ,  S ) `  ( G `  1 )
)  =  ( F `
 ( G ` 
1 ) ) )
148 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( H `  n )  =  ( H ` 
1 ) )
149 2fveq3 5294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  ( G `  n ) )  =  ( F `  ( G `  1 )
) )
150148, 149eqeq12d 2102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( H `  n
)  =  ( F `
 ( G `  n ) )  <->  ( H `  1 )  =  ( F `  ( G `  1 )
) ) )
151150imbi2d 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
( ph  ->  ( H `
 n )  =  ( F `  ( G `  n )
) )  <->  ( ph  ->  ( H `  1
)  =  ( F `
 ( G ` 
1 ) ) ) ) )
152 seqcoll.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( H `  n )  =  ( F `  ( G `
 n ) ) )
153152expcom 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  ( ph  ->  ( H `  n
)  =  ( F `
 ( G `  n ) ) ) )
154151, 153vtoclga 2685 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  ( ph  ->  ( H `  1
)  =  ( F `
 ( G ` 
1 ) ) ) )
15539, 154mpcom 36 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H `  1
)  =  ( F `
 ( G ` 
1 ) ) )
156147, 155eqtr4d 2123 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq ( G `
 1 ) ( 
.+  ,  F ,  S ) `  ( G `  1 )
)  =  ( H `
 1 ) )
157127, 131, 1563eqtr3d 2128 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  ( G `  1 )
)  =  ( H `
 1 ) )
158 1zzd 8747 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
159 seqcoll.hcl . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( H `  k )  e.  S
)
160158, 159, 125iseq1 9840 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq 1 ( 
.+  ,  H ,  S ) `  1
)  =  ( H `
 1 ) )
161157, 160eqtr4d 2123 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  ( G `  1 )
)  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `  1 ) )
162161a1d 22 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  1
) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 1 ) ) )
163 simplr 497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  m  e.  NN )
164 nnuz 9023 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
165163, 164syl6eleq 2180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
166 nnz 8739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
167166ad2antlr 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  m  e.  ZZ )
168 elfzuz3 9406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  ( `  A
)  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1
) ) )
169168adantl 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( `  A )  e.  (
ZZ>= `  ( m  + 
1 ) ) )
170 peano2uzr 9042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ( ZZ>= `  ( m  +  1 ) ) )  ->  ( `  A
)  e.  ( ZZ>= `  m ) )
171167, 169, 170syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( `  A )  e.  (
ZZ>= `  m ) )
172 elfzuzb 9403 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  <->  ( m  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( `  A )  e.  ( ZZ>= `  m )
) )
173165, 171, 172sylanbrc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )
174173ex 113 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  m  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) ) )
175174imim1d 74 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  m
) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 m ) )  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G `  m ) )  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  H ,  S ) `  m
) ) ) )
176 oveq1 5641 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G `  m ) )  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  H ,  S ) `  m
)  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  m
) )  .+  ( H `  ( m  +  1 ) ) )  =  ( (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 m )  .+  ( H `  ( m  +  1 ) ) ) )
177 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ph )
178 seqcoll.1b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  S )  ->  (
k  .+  Z )  =  k )
179177, 178sylan 277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  /\  k  e.  S )  ->  ( k  .+  Z
)  =  k )
18030ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M )
)
18135ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  G : ( 1 ... ( `  A )
) --> A )
182181, 173ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( G `  m )  e.  A )
183180, 182sseldd 3024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( G `  m )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
184 nnre 8401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
185184ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  m  e.  RR )
186185ltp1d 8363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  m  <  ( m  +  1 ) )
18731ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  G  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) )
188 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )
189 isorel 5569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A )  /\  (
m  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) ) )  -> 
( m  <  (
m  +  1 )  <-> 
( G `  m
)  <  ( G `  ( m  +  1 ) ) ) )
190187, 173, 188, 189syl12anc 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
m  <  ( m  +  1 )  <->  ( G `  m )  <  ( G `  ( m  +  1 ) ) ) )
191186, 190mpbid 145 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( G `  m )  <  ( G `  (
m  +  1 ) ) )
192 eluzelz 8997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  m )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( G `  m )  e.  ZZ )
193183, 192syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( G `  m )  e.  ZZ )
194181, 188ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( G `  ( m  +  1 ) )  e.  A )
195180, 194sseldd 3024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( G `  ( m  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
196 eluzelz 8997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( G `  ( m  +  1 ) )  e.  ZZ )
197195, 196syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( G `  ( m  +  1 ) )  e.  ZZ )
198 zltlem1 8777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G `  m
)  e.  ZZ  /\  ( G `  ( m  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( G `  m )  <  ( G `  ( m  +  1 ) )  <-> 
( G `  m
)  <_  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
199193, 197, 198syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
( G `  m
)  <  ( G `  ( m  +  1 ) )  <->  ( G `  m )  <_  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
200191, 199mpbid 145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( G `  m )  <_  ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 ) )
201 peano2zm 8758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
202197, 201syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
203 eluz 9001 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  m
)  e.  ZZ  /\  ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( G `  m ) )  <->  ( G `  m )  <_  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
204193, 202, 203syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( G `  m ) )  <->  ( G `  m )  <_  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
205200, 204mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( G `  m )
) )
206177, 71sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( F `  k
)  e.  S )
207177, 125sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  /\  ( k  e.  S  /\  n  e.  S
) )  ->  (
k  .+  n )  e.  S )
208183, 206, 207iseqcl 9846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  m
) )  e.  S
)
209 simplll 500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  /\  k  e.  ( (
( G `  m
)  +  1 ) ... ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  ph )
210 elfzuz 9405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( ( ( G `  m )  +  1 ) ... ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( G `  m )  +  1 ) ) )
211 peano2uz 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G `  m )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( G `  m )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
212183, 211syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
( G `  m
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
213 uztrn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  ( ( G `  m )  +  1 ) )  /\  (
( G `  m
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
214210, 212, 213syl2anr 284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  /\  k  e.  ( (
( G `  m
)  +  1 ) ... ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
215202zred 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
216197zred 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( G `  ( m  +  1 ) )  e.  RR )
21782ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( G `  ( `  A
) )  e.  RR )
218216lem1d 8366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 )  <_  ( G `  ( m  +  1
) ) )
219 elfzle2 9411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  ( m  +  1 )  <_ 
( `  A ) )
220219adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
m  +  1 )  <_  ( `  A )
)
22150ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
1 ... ( `  A
) )  C_  RR* )
22254ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  A  C_ 
RR* )
22356ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( `  A )  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
224 leisorel 10207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A )  /\  (
( 1 ... ( `  A ) )  C_  RR* 
/\  A  C_  RR* )  /\  ( ( m  + 
1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  ( `  A )  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  <_ 
( `  A )  <->  ( G `  ( m  +  1 ) )  <_  ( G `  ( `  A
) ) ) )
225187, 221, 222, 188, 223, 224syl122anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
( m  +  1 )  <_  ( `  A
)  <->  ( G `  ( m  +  1
) )  <_  ( G `  ( `  A
) ) ) )
226220, 225mpbid 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( G `  ( m  +  1 ) )  <_  ( G `  ( `  A ) ) )
227215, 216, 217, 218, 226letrd 7586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 )  <_  ( G `  ( `  A ) ) )
22863ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( G `  ( `  A
) )  e.  ZZ )
229 eluz 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( G `  ( `  A
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( G `
 ( `  A
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <->  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 )  <_ 
( G `  ( `  A ) ) ) )
230202, 228, 229syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
( G `  ( `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 ) )  <-> 
( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 )  <_  ( G `  ( `  A )
) ) )
231227, 230mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( G `  ( `  A
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
232 elfzuz3 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( ( ( G `  m )  +  1 ) ... ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 ) )  ->  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  k
) )
233 uztrn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G `  ( `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 ) )  /\  ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( G `  ( `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  k
) )
234231, 232, 233syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  /\  k  e.  ( (
( G `  m
)  +  1 ) ... ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  ( G `  ( `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  k
) )
235 elfzuzb 9403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( M ... ( G `  ( `  A
) ) )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( G `  ( `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  k )
) )
236214, 234, 235sylanbrc 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  /\  k  e.  ( (
( G `  m
)  +  1 ) ... ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... ( G `
 ( `  A
) ) ) )
237166ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  ->  m  e.  ZZ )
238101ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  ->  `' G : A --> ( 1 ... ( `  A
) ) )
239 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
k  e.  A )
240238, 239ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( `' G `  k )  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
241 elfzelz 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( `' G `  k )  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  ( `' G `  k )  e.  ZZ )
242240, 241syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( `' G `  k )  e.  ZZ )
243 btwnnz 8810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  m  <  ( `' G `  k )  /\  ( `' G `  k )  <  ( m  + 
1 ) )  ->  -.  ( `' G `  k )  e.  ZZ )
2442433expib 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( m  <  ( `' G `  k )  /\  ( `' G `  k )  <  (
m  +  1 ) )  ->  -.  ( `' G `  k )  e.  ZZ ) )
245244con2d 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( `' G `  k )  e.  ZZ  ->  -.  ( m  < 
( `' G `  k )  /\  ( `' G `  k )  <  ( m  + 
1 ) ) ) )
246237, 242, 245sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  ->  -.  ( m  <  ( `' G `  k )  /\  ( `' G `  k )  <  (
m  +  1 ) ) )
24731ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  ->  G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) )
248173adantrr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
249 isorel 5569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A )  /\  (
m  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  ( `' G `  k )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) ) )  -> 
( m  <  ( `' G `  k )  <-> 
( G `  m
)  <  ( G `  ( `' G `  k ) ) ) )
250247, 248, 240, 249syl12anc 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( m  <  ( `' G `  k )  <-> 
( G `  m
)  <  ( G `  ( `' G `  k ) ) ) )
25133ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  ->  G : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A )
252251, 239, 113syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( G `  ( `' G `  k ) )  =  k )
253252breq2d 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( ( G `  m )  <  ( G `  ( `' G `  k )
)  <->  ( G `  m )  <  k
) )
254193adantrr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( G `  m
)  e.  ZZ )
25530ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M
) )
256255, 239sseldd 3024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  M ) )
257 eluzelz 8997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
258256, 257syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
k  e.  ZZ )
259 zltp1le 8774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( G `  m
)  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( G `  m )  <  k  <->  ( ( G `  m
)  +  1 )  <_  k ) )
260254, 258, 259syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( ( G `  m )  <  k  <->  ( ( G `  m
)  +  1 )  <_  k ) )
261250, 253, 2603bitrd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( m  <  ( `' G `  k )  <-> 
( ( G `  m )  +  1 )  <_  k )
)
262188adantrr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
263 isorel 5569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A )  /\  (
( `' G `  k )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) ) )  -> 
( ( `' G `  k )  <  (
m  +  1 )  <-> 
( G `  ( `' G `  k ) )  <  ( G `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
264247, 240, 262, 263syl12anc 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( ( `' G `  k )  <  (
m  +  1 )  <-> 
( G `  ( `' G `  k ) )  <  ( G `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
265252breq1d 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( ( G `  ( `' G `  k ) )  <  ( G `
 ( m  + 
1 ) )  <->  k  <  ( G `  ( m  +  1 ) ) ) )
266197adantrr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( G `  (
m  +  1 ) )  e.  ZZ )
267 zltlem1 8777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( G `  ( m  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( k  <  ( G `  ( m  +  1 ) )  <-> 
k  <_  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
268258, 266, 267syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( k  <  ( G `  ( m  +  1 ) )  <-> 
k  <_  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
269264, 265, 2683bitrd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( ( `' G `  k )  <  (
m  +  1 )  <-> 
k  <_  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
270261, 269anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  -> 
( ( m  < 
( `' G `  k )  /\  ( `' G `  k )  <  ( m  + 
1 ) )  <->  ( (
( G `  m
)  +  1 )  <_  k  /\  k  <_  ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 ) ) ) )
271246, 270mtbid 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) )  /\  k  e.  A ) )  ->  -.  ( ( ( G `
 m )  +  1 )  <_  k  /\  k  <_  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 ) ) )
272271expr 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
k  e.  A  ->  -.  ( ( ( G `
 m )  +  1 )  <_  k  /\  k  <_  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
273272con2d 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
( ( ( G `
 m )  +  1 )  <_  k  /\  k  <_  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  -.  k  e.  A ) )
274 elfzle1 9410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( ( ( G `  m )  +  1 ) ... ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 ) )  ->  (
( G `  m
)  +  1 )  <_  k )
275 elfzle2 9411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( ( ( G `  m )  +  1 ) ... ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 ) )  ->  k  <_  ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 ) )
276274, 275jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ( ( G `  m )  +  1 ) ... ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 ) )  ->  (
( ( G `  m )  +  1 )  <_  k  /\  k  <_  ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
277273, 276impel 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  /\  k  e.  ( (
( G `  m
)  +  1 ) ... ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  -.  k  e.  A )
278236, 277eldifd 3007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  /\  k  e.  ( (
( G `  m
)  +  1 ) ... ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  k  e.  ( ( M ... ( G `  ( `  A
) ) )  \  A ) )
279209, 278, 123syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  /\  k  e.  ( (
( G `  m
)  +  1 ) ... ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  Z )
280179, 183, 205, 208, 279, 206, 207iseqid2 9906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  m
) )  =  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
281280oveq1d 5649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G `  m ) )  .+  ( F `  ( G `
 ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 ) )  .+  ( F `  ( G `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
282 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( H `  n )  =  ( H `  ( m  +  1
) ) )
283 2fveq3 5294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( F `  ( G `  n ) )  =  ( F `  ( G `  ( m  +  1 ) ) ) )
284282, 283eqeq12d 2102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( H `  n
)  =  ( F `
 ( G `  n ) )  <->  ( H `  ( m  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
285284imbi2d 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( H `
 n )  =  ( F `  ( G `  n )
) )  <->  ( ph  ->  ( H `  (
m  +  1 ) )  =  ( F `
 ( G `  ( m  +  1
) ) ) ) ) )
286285, 153vtoclga 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  ( ph  ->  ( H `  (
m  +  1 ) )  =  ( F `
 ( G `  ( m  +  1
) ) ) ) )
287286impcom 123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( H `  ( m  +  1
) )  =  ( F `  ( G `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
288287adantlr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( H `  ( m  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  ( m  +  1 ) ) ) )
289288oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G `  m ) )  .+  ( H `  ( m  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G `  m ) )  .+  ( F `  ( G `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
29092ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  M  e.  ZZ )
291197zcnd 8839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( G `  ( m  +  1 ) )  e.  CC )
292 ax-1cn 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
293 npcan 7670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G `  (
m  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( G `
 ( m  + 
1 ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( G `
 ( m  + 
1 ) ) )
294291, 292, 293sylancl 404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 )  +  1 )  =  ( G `  ( m  +  1
) ) )
295 uztrn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( G `  m ) )  /\  ( G `
 m )  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( G `  ( m  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
296205, 183, 295syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
297 eluzp1p1 9013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
298296, 297syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
( ( G `  ( m  +  1
) )  -  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
299294, 298eqeltrrd 2165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  ( G `  ( m  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
300290, 299, 206, 207iseqm1 9853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  (
m  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  (
( G `  (
m  +  1 ) )  -  1 ) )  .+  ( F `
 ( G `  ( m  +  1
) ) ) ) )
301281, 289, 3003eqtr4rd 2131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  (
m  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  ( G `  m )
)  .+  ( H `  ( m  +  1 ) ) ) )
302177, 159sylan 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( H `  k
)  e.  S )
303165, 302, 207iseqp1 9847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `  ( m  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 ( 
.+  ,  H ,  S ) `  m
)  .+  ( H `  ( m  +  1 ) ) ) )
304301, 303eqeq12d 2102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G `  ( m  +  1
) ) )  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  H ,  S ) `  (
m  +  1 ) )  <->  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  m
) )  .+  ( H `  ( m  +  1 ) ) )  =  ( (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 m )  .+  ( H `  ( m  +  1 ) ) ) ) )
305176, 304syl5ibr 154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G `  m ) )  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  H ,  S ) `  m
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  (
m  +  1 ) ) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
306305ex 113 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `  ( G `  m
) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 m )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G `  ( m  +  1
) ) )  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  H ,  S ) `  (
m  +  1 ) ) ) ) )
307306a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A
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) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 m ) )  ->  ( ( m  +  1 )  e.  ( 1 ... ( `  A ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G `  ( m  +  1
) ) )  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  H ,  S ) `  (
m  +  1 ) ) ) ) )
308175, 307syld 44 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  e.  ( 1 ... ( `  A
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(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
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309308expcom 114 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( m  e.  ( 1 ... ( `  A )
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(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
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310309a2d 26 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  ->  (
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3119, 15, 21, 27, 162, 310nnind 8410 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( 1 ... ( `  A ) )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ,  S ) `
 ( G `  N ) )  =  (  seq 1 ( 
.+  ,  H ,  S ) `  N
) ) ) )
3123, 311mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( 1 ... ( `  A
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) )  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `
 N ) ) )
3131, 312mpd 13 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  ( G `  N )
)  =  (  seq 1 (  .+  ,  H ,  S ) `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438    \ cdif 2994    C_ wss 2997   class class class wbr 3837   `'ccnv 4427    |` cres 4430   -->wf 4998   -1-1-onto->wf1o 5001   ` cfv 5002    Isom wiso 5003  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   1c1 7330    + caddc 7332   RR*cxr 7500    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632   NNcn 8394   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988   ...cfz 9393    seqcseq4 9816  ♯chash 10148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-isom 5011  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-iseq 9818
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