Theorem iseqdistr 9941

Description: The distributive property for series. New proofs should use seq3distr 9942. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqdistr.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqdistr.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
iseqdistr.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqdistr.4	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqdistr.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) = ( C T ( G ` x ) ) )
iseqdistr.s	|- ( ph -> S e. V )
iseqdistr.t	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. S )
iseqdistr.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iseqdistr.c	|- ( ph -> C e. S )

Assertion

Ref	Expression
iseqdistr	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( C T ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, C, y   x, F, y   x, G, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem iseqdistr

Dummy variables b z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqdistr.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		iseqdistr.4	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
3		iseqdistr.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
4		iseqdistr.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		iseqdistr.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
6		iseqdistr.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. S )
7	6	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> C e. S )
8		iseqdistr.t	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. S )
9	8	ralrimivva 2455	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x T y ) e. S )
10		oveq1 5659	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( x T y ) = ( a T y ) )
11	10	eleq1d 2156	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( ( x T y ) e. S <-> ( a T y ) e. S ) )
12		oveq2 5660	. . . . . . . . . 10 |- ( y = b -> ( a T y ) = ( a T b ) )
13	12	eleq1d 2156	. . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( ( a T y ) e. S <-> ( a T b ) e. S ) )
14	11, 13	cbvral2v 2598	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. S A. y e. S ( x T y ) e. S <-> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
15	9, 14	sylib 120	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
16	15	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
17		oveq1 5659	. . . . . . . 8 |- ( a = C -> ( a T b ) = ( C T b ) )
18	17	eleq1d 2156	. . . . . . 7 |- ( a = C -> ( ( a T b ) e. S <-> ( C T b ) e. S ) )
19		oveq2 5660	. . . . . . . 8 |- ( b = ( x .+ y ) -> ( C T b ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
20	19	eleq1d 2156	. . . . . . 7 |- ( b = ( x .+ y ) -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T ( x .+ y ) ) e. S ) )
21	18, 20	rspc2va 2735	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. S /\ ( x .+ y ) e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T ( x .+ y ) ) e. S )
22	7, 1, 16, 21	syl21anc 1173	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) e. S )
23		oveq2 5660	. . . . . 6 |- ( z = ( x .+ y ) -> ( C T z ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
24		eqid 2088	. . . . . 6 |- ( z e. S |-> ( C T z ) ) = ( z e. S |-> ( C T z ) )
25	23, 24	fvmptg 5380	. . . . 5 |- ( ( ( x .+ y ) e. S /\ ( C T ( x .+ y ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
26	1, 22, 25	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
27		simprl 498	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. S )
28		oveq2 5660	. . . . . . . . 9 |- ( b = x -> ( C T b ) = ( C T x ) )
29	28	eleq1d 2156	. . . . . . . 8 |- ( b = x -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T x ) e. S ) )
30	18, 29	rspc2va 2735	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. S /\ x e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T x ) e. S )
31	7, 27, 16, 30	syl21anc 1173	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T x ) e. S )
32		oveq2 5660	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( C T z ) = ( C T x ) )
33	32, 24	fvmptg 5380	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ ( C T x ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) = ( C T x ) )
34	27, 31, 33	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) = ( C T x ) )
35		simprr 499	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. S )
36		oveq2 5660	. . . . . . . . 9 |- ( b = y -> ( C T b ) = ( C T y ) )
37	36	eleq1d 2156	. . . . . . . 8 |- ( b = y -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T y ) e. S ) )
38	18, 37	rspc2va 2735	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. S /\ y e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T y ) e. S )
39	7, 35, 16, 38	syl21anc 1173	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T y ) e. S )
40		oveq2 5660	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( C T z ) = ( C T y ) )
41	40, 24	fvmptg 5380	. . . . . 6 |- ( ( y e. S /\ ( C T y ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) = ( C T y ) )
42	35, 39, 41	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) = ( C T y ) )
43	34, 42	oveq12d 5670	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) .+ ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
44	5, 26, 43	3eqtr4d 2130	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) .+ ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) ) )
45		iseqdistr.5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) = ( C T ( G ` x ) ) )
46		iseqdistr.f	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
47	45, 46	eqeltrrd 2165	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( C T ( G ` x ) ) e. S )
48		oveq2 5660	. . . . . 6 |- ( z = ( G ` x ) -> ( C T z ) = ( C T ( G ` x ) ) )
49	48, 24	fvmptg 5380	. . . . 5 |- ( ( ( G ` x ) e. S /\ ( C T ( G ` x ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( C T ( G ` x ) ) )
50	2, 47, 49	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( C T ( G ` x ) ) )
51	50, 45	eqtr4d 2123	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( F ` x ) )
52	1, 2, 3, 4, 44, 51, 46, 1	iseqhomo 9938	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) )
53	4, 2, 1	iseqcl 9877	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) e. S )
54	8, 6, 53	caovcld 5798	. . 3 |- ( ph -> ( C T ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) e. S )
55		oveq2 5660	. . . 4 |- ( z = ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) -> ( C T z ) = ( C T ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )
56	55, 24	fvmptg 5380	. . 3 |- ( ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) e. S /\ ( C T ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) = ( C T ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )
57	53, 54, 56	syl2anc 403	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) = ( C T ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )
58	52, 57	eqtr3d 2122	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( C T ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   |-> cmpt 3899   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   ZZ>=cuz 9017   seqcseq4 9847

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-iseq 9849

This theorem is referenced by:  iisermulc2  10724