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Theorem iseqdistr 9941
Description: The distributive property for series. New proofs should use seq3distr 9942. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqdistr.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
iseqdistr.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( C T ( x  .+  y ) )  =  ( ( C T x ) 
.+  ( C T y ) ) )
iseqdistr.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseqdistr.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
iseqdistr.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  =  ( C T ( G `
 x ) ) )
iseqdistr.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
iseqdistr.t  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x T y )  e.  S )
iseqdistr.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
iseqdistr.c  |-  ( ph  ->  C  e.  S )
Assertion
Ref Expression
iseqdistr  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  N
)  =  ( C T (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  N
) ) )
Distinct variable groups:    x,  .+ , y    x, C, y    x, F, y    x, G, y   
x, M, y    x, N, y    x, S, y   
x, T, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem iseqdistr
Dummy variables  b  z  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqdistr.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
2 iseqdistr.4 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
3 iseqdistr.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 iseqdistr.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5 iseqdistr.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( C T ( x  .+  y ) )  =  ( ( C T x ) 
.+  ( C T y ) ) )
6 iseqdistr.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  S )
76adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  C  e.  S )
8 iseqdistr.t . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x T y )  e.  S )
98ralrimivva 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x T y )  e.  S )
10 oveq1 5659 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
x T y )  =  ( a T y ) )
1110eleq1d 2156 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  (
( x T y )  e.  S  <->  ( a T y )  e.  S ) )
12 oveq2 5660 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  b  ->  (
a T y )  =  ( a T b ) )
1312eleq1d 2156 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
( a T y )  e.  S  <->  ( a T b )  e.  S ) )
1411, 13cbvral2v 2598 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x T y )  e.  S  <->  A. a  e.  S  A. b  e.  S  ( a T b )  e.  S )
159, 14sylib 120 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  A. b  e.  S  ( a T b )  e.  S )
1615adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  A. a  e.  S  A. b  e.  S  ( a T b )  e.  S )
17 oveq1 5659 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  C  ->  (
a T b )  =  ( C T b ) )
1817eleq1d 2156 . . . . . . 7  |-  ( a  =  C  ->  (
( a T b )  e.  S  <->  ( C T b )  e.  S ) )
19 oveq2 5660 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( x  .+  y )  ->  ( C T b )  =  ( C T ( x  .+  y ) ) )
2019eleq1d 2156 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( x  .+  y )  ->  (
( C T b )  e.  S  <->  ( C T ( x  .+  y ) )  e.  S ) )
2118, 20rspc2va 2735 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  S  /\  ( x  .+  y
)  e.  S )  /\  A. a  e.  S  A. b  e.  S  ( a T b )  e.  S
)  ->  ( C T ( x  .+  y ) )  e.  S )
227, 1, 16, 21syl21anc 1173 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( C T ( x  .+  y ) )  e.  S )
23 oveq2 5660 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x  .+  y )  ->  ( C T z )  =  ( C T ( x  .+  y ) ) )
24 eqid 2088 . . . . . 6  |-  ( z  e.  S  |->  ( C T z ) )  =  ( z  e.  S  |->  ( C T z ) )
2523, 24fvmptg 5380 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .+  y
)  e.  S  /\  ( C T ( x 
.+  y ) )  e.  S )  -> 
( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  ( x  .+  y ) )  =  ( C T ( x  .+  y ) ) )
261, 22, 25syl2anc 403 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  ( x  .+  y ) )  =  ( C T ( x  .+  y ) ) )
27 simprl 498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  x  e.  S )
28 oveq2 5660 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  x  ->  ( C T b )  =  ( C T x ) )
2928eleq1d 2156 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  x  ->  (
( C T b )  e.  S  <->  ( C T x )  e.  S ) )
3018, 29rspc2va 2735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  S  /\  x  e.  S
)  /\  A. a  e.  S  A. b  e.  S  ( a T b )  e.  S )  ->  ( C T x )  e.  S )
317, 27, 16, 30syl21anc 1173 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( C T x )  e.  S )
32 oveq2 5660 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( C T z )  =  ( C T x ) )
3332, 24fvmptg 5380 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  /\  ( C T x )  e.  S )  -> 
( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  x )  =  ( C T x ) )
3427, 31, 33syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  x )  =  ( C T x ) )
35 simprr 499 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  S )
36 oveq2 5660 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  y  ->  ( C T b )  =  ( C T y ) )
3736eleq1d 2156 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  (
( C T b )  e.  S  <->  ( C T y )  e.  S ) )
3818, 37rspc2va 2735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  S  /\  y  e.  S
)  /\  A. a  e.  S  A. b  e.  S  ( a T b )  e.  S )  ->  ( C T y )  e.  S )
397, 35, 16, 38syl21anc 1173 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( C T y )  e.  S )
40 oveq2 5660 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( C T z )  =  ( C T y ) )
4140, 24fvmptg 5380 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  S  /\  ( C T y )  e.  S )  -> 
( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  y )  =  ( C T y ) )
4235, 39, 41syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  y )  =  ( C T y ) )
4334, 42oveq12d 5670 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `
 x )  .+  ( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  y ) )  =  ( ( C T x )  .+  ( C T y ) ) )
445, 26, 433eqtr4d 2130 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  x
)  .+  ( (
z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  y ) ) )
45 iseqdistr.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  =  ( C T ( G `
 x ) ) )
46 iseqdistr.f . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
4745, 46eqeltrrd 2165 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( C T ( G `  x ) )  e.  S )
48 oveq2 5660 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( G `  x )  ->  ( C T z )  =  ( C T ( G `  x ) ) )
4948, 24fvmptg 5380 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  S  /\  ( C T ( G `
 x ) )  e.  S )  -> 
( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  ( G `  x ) )  =  ( C T ( G `  x ) ) )
502, 47, 49syl2anc 403 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  ( G `
 x ) )  =  ( C T ( G `  x
) ) )
5150, 45eqtr4d 2123 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  ( G `
 x ) )  =  ( F `  x ) )
521, 2, 3, 4, 44, 51, 46, 1iseqhomo 9938 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 N ) )  =  (  seq M
(  .+  ,  F ,  S ) `  N
) )
534, 2, 1iseqcl 9877 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  N
)  e.  S )
548, 6, 53caovcld 5798 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C T (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 N ) )  e.  S )
55 oveq2 5660 . . . 4  |-  ( z  =  (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  N
)  ->  ( C T z )  =  ( C T (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 N ) ) )
5655, 24fvmptg 5380 . . 3  |-  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  N
)  e.  S  /\  ( C T (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  N ) )  e.  S )  ->  (
( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `  N ) )  =  ( C T (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 N ) ) )
5753, 54, 56syl2anc 403 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  S  |->  ( C T z ) ) `  (  seq M (  .+  ,  G ,  S ) `
 N ) )  =  ( C T (  seq M ( 
.+  ,  G ,  S ) `  N
) ) )
5852, 57eqtr3d 2122 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) `  N
)  =  ( C T (  seq M
(  .+  ,  G ,  S ) `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359    |-> cmpt 3899   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   ZZ>=cuz 9017    seqcseq4 9847
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-iseq 9849
This theorem is referenced by:  iisermulc2  10724
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