ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqfcl Unicode version

Theorem iseqfcl 9874
Description: Range of the recursive sequence builder. New proofs should use seqf 9876 instead (together with iseqsst 9882 or iseqseq3 9898 if need be). (Contributed by Jim Kingdon, 11-Apr-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqfcl.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iseqfcl.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iseqfcl.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  ( F `  x )  e.  S )
iseqfcl.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
iseqfcl  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  S ) : Z --> S )
Distinct variable groups:    x,  .+ , y    x, F, y    x, M, y    x, S, y   
x, Z    ph, x, y
Allowed substitution hint:    Z( y)

Proof of Theorem iseqfcl
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqfcl.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 eqid 2088 . . 3  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  M )  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  M )
3 fveq2 5305 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( F `  x )  =  ( F `  M ) )
43eleq1d 2156 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  M )  e.  S
) )
5 iseqfcl.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  ( F `  x )  e.  S )
65ralrimiva 2446 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  ( F `  x )  e.  S )
7 uzid 9031 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
81, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
9 iseqfcl.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
108, 9syl6eleqr 2181 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
114, 6, 10rspcdva 2727 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  S )
129eleq2i 2154 . . . . 5  |-  ( x  e.  Z  <->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1312, 5sylan2br 282 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
14 iseqfcl.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
1513, 14iseqovex 9866 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )  e.  S )
16 eqid 2088 . . 3  |- frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. )  = frec (
( x  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
1716, 13, 14iseqval 9867 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  S )  =  ran frec ( (
x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. ) )
181, 2, 11, 15, 16, 17frecuzrdgtcl 9815 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  S ) : ( ZZ>= `  M
) --> S )
199feq2i 5155 . 2  |-  (  seq M (  .+  ,  F ,  S ) : Z --> S  <->  seq M ( 
.+  ,  F ,  S ) : (
ZZ>= `  M ) --> S )
2018, 19sylibr 132 1  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  S ) : Z --> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   <.cop 3449    |-> cmpt 3899   -->wf 5011   ` cfv 5015  (class class class)co 5652    |-> cmpt2 5654  freccfrec 6155   1c1 7349    + caddc 7351   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017    seqcseq4 9847
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-iseq 9849
This theorem is referenced by:  iseqoveq  9881  iseqsst  9882  iseqfeq2  9887  iseqfeq  9892  iserf  9899  facnn  10131  fac0  10132  ialgrf  11301
  Copyright terms: Public domain W3C validator