Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqfclt Unicode version

Theorem iseqfclt 9875
 Description: Range of the recursive sequence builder. New proofs should use seqf 9876 instead (together with iseqsst 9882 or iseqseq3 9898 if need be). (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqfclt.1
iseqfclt.2
iseqfclt.3
iseqfclt.4
iseqfclt.t
Assertion
Ref Expression
iseqfclt
Distinct variable groups:   , ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem iseqfclt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqfclt.2 . . 3
2 fveq2 5305 . . . . 5
32eleq1d 2156 . . . 4
4 iseqfclt.3 . . . . 5
54ralrimiva 2446 . . . 4
6 uzid 9031 . . . . . 6
71, 6syl 14 . . . . 5
8 iseqfclt.1 . . . . 5
97, 8syl6eleqr 2181 . . . 4
103, 5, 9rspcdva 2727 . . 3
11 iseqfclt.t . . 3
12 simprl 498 . . . . 5
13 simprr 499 . . . . 5
14 iseqfclt.4 . . . . . . . 8
1514caovclg 5797 . . . . . . 7
1615adantlr 461 . . . . . 6
17 fveq2 5305 . . . . . . . 8
1817eleq1d 2156 . . . . . . 7
19 fveq2 5305 . . . . . . . . . . 11
2019eleq1d 2156 . . . . . . . . . 10
2120cbvralv 2590 . . . . . . . . 9
225, 21sylib 120 . . . . . . . 8
2322adantr 270 . . . . . . 7
24 peano2uz 9069 . . . . . . . . 9
2524, 8syl6eleqr 2181 . . . . . . . 8
2612, 25syl 14 . . . . . . 7
2718, 23, 26rspcdva 2727 . . . . . 6
2816, 13, 27caovcld 5798 . . . . 5
29 oveq1 5659 . . . . . . . 8
3029fveq2d 5309 . . . . . . 7
3130oveq2d 5668 . . . . . 6
32 oveq1 5659 . . . . . 6
33 eqid 2088 . . . . . 6
3431, 32, 33ovmpt2g 5779 . . . . 5
3512, 13, 28, 34syl3anc 1174 . . . 4
3635, 28eqeltrd 2164 . . 3
37 iseqvalcbv 9868 . . 3 frec frec
388eleq2i 2154 . . . . 5
3938, 4sylan2br 282 . . . 4
401, 37, 39, 14, 11iseqvalt 9869 . . 3 frec
411, 10, 11, 36, 37, 40frecuzrdgtclt 9824 . 2
428a1i 9 . . 3
4342feq2d 5150 . 2
4441, 43mpbird 165 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wceq 1289   wcel 1438  wral 2359   wss 2999  cop 3449  wf 5011  cfv 5015  (class class class)co 5652   cmpt2 5654  freccfrec 6155  c1 7349   caddc 7351  cz 8748  cuz 9017   cseq4 9847 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-iseq 9849 This theorem is referenced by:  iseqp1t  9879  iseqsst  9882
 Copyright terms: Public domain W3C validator