Theorem iseqid3 9998

Description: A sequence that consists entirely of zeroes (or whatever the identity Z is for operation .+) sums to zero. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqid3.1	|- ( ph -> ( Z .+ Z ) = Z )
iseqid3.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqid3.3	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) = Z )
iseqid3.z	|- ( ph -> Z e. V )

Assertion

Ref	Expression
iseqid3	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , { Z } ) ` N ) = Z )

Distinct variable groups:   x, .+   x, F   x, M   ph, x   x, Z   x, N

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem iseqid3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqid3.2	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		iseqid3.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) = Z )
3		iseqid3.z	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. V )
4		elsn2g 3481	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> ( ( F ` x ) e. { Z } <-> ( F ` x ) = Z ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` x ) e. { Z } <-> ( F ` x ) = Z ) )
6	5	adantr 271	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` x ) e. { Z } <-> ( F ` x ) = Z ) )
7	2, 6	mpbird 166	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. { Z } )
8		iseqid3.1	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Z .+ Z ) = Z )
9		elsn2g 3481	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> ( ( Z .+ Z ) e. { Z } <-> ( Z .+ Z ) = Z ) )
10	3, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Z .+ Z ) e. { Z } <-> ( Z .+ Z ) = Z ) )
11	8, 10	mpbird 166	. . . . 5 |- ( ph -> ( Z .+ Z ) e. { Z } )
12		elsni 3468	. . . . . . 7 |- ( x e. { Z } -> x = Z )
13		elsni 3468	. . . . . . 7 |- ( y e. { Z } -> y = Z )
14	12, 13	oveqan12d 5685	. . . . . 6 |- ( ( x e. { Z } /\ y e. { Z } ) -> ( x .+ y ) = ( Z .+ Z ) )
15	14	eleq1d 2157	. . . . 5 |- ( ( x e. { Z } /\ y e. { Z } ) -> ( ( x .+ y ) e. { Z } <-> ( Z .+ Z ) e. { Z } ) )
16	11, 15	syl5ibrcom 156	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. { Z } /\ y e. { Z } ) -> ( x .+ y ) e. { Z } ) )
17	16	imp 123	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. { Z } /\ y e. { Z } ) ) -> ( x .+ y ) e. { Z } )
18	1, 7, 17	iseqcl 9942	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , { Z } ) ` N ) e. { Z } )
19		elsni 3468	. 2 |- ( ( seq M ( .+ , F , { Z } ) ` N ) e. { Z } -> ( seq M ( .+ , F , { Z } ) ` N ) = Z )
20	18, 19	syl 14	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , { Z } ) ` N ) = Z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1290   e. wcel 1439   {csn 3450   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   ZZ>=cuz 9080   seqcseq4 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-iseq 9914

This theorem is referenced by: (None)