Theorem iseqval 9867

Description: Value of the sequence builder function.

There should be no need for new usages of this theorem because once we have proved theorems seqf 9876, seq3-1 9873 and seq3p1 9880 future development can be done in terms of those.

(Contributed by Jim Kingdon, 30-May-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqval.1	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
iseqval.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iseqval.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
iseqval	|- ( ph -> seq M ( .+ , F , S ) = ran R )

Distinct variable groups:   w, F, x, y, z   w, .+ , x, y, z   w, M, x, y, z   w, S, x, y, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z, w)   R( x, y, z, w)

Proof of Theorem iseqval

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqval.1	. . . 4 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
2		simprl 498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
3		simprr 499	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> y e. S )
4		iseqval.pl	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
5	4	caovclg 5797	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a .+ b ) e. S )
6	5	adantlr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a .+ b ) e. S )
7		iseqval.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
8	7	ralrimiva 2446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
9		fveq2 5305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
10	9	eleq1d 2156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` y ) e. S ) )
11	10	cbvralv 2590	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S <-> A. y e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` y ) e. S )
12	8, 11	sylib 120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. y e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` y ) e. S )
13	12	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> A. y e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` y ) e. S )
14		peano2uz 9069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
15		fveq2 5305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x + 1 ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
16	15	eleq1d 2156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( x + 1 ) -> ( ( F ` y ) e. S <-> ( F ` ( x + 1 ) ) e. S ) )
17	16	rspcv 2718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. y e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` y ) e. S -> ( F ` ( x + 1 ) ) e. S ) )
18	14, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. y e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` y ) e. S -> ( F ` ( x + 1 ) ) e. S ) )
19	18	ad2antrl 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( A. y e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` y ) e. S -> ( F ` ( x + 1 ) ) e. S ) )
20	13, 19	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( F ` ( x + 1 ) ) e. S )
21	6, 3, 20	caovcld 5798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. S )
22		oveq1 5659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( z + 1 ) = ( x + 1 ) )
23	22	fveq2d 5309	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( F ` ( z + 1 ) ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
24	23	oveq2d 5668	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( w .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
25		oveq1 5659	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( w .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
26		eqid 2088	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) = ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
27	24, 25, 26	ovmpt2g 5779	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S /\ ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. S ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
28	2, 3, 21, 27	syl3anc 1174	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
29	28	3impb 1139	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
30	29	opeq2d 3629	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) -> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. )
31	30	mpt2eq3dva 5713	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) )
32		freceq1 6157	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
33	31, 32	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
34	1, 33	syl5eq 2132	. . 3 |- ( ph -> R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
35	34	rneqd 4664	. 2 |- ( ph -> ran R = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
36		df-iseq 9849	. 2 |- seq M ( .+ , F , S ) = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
37	35, 36	syl6reqr 2139	1 |- ( ph -> seq M ( .+ , F , S ) = ran R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 924   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   <.cop 3449   ran crn 4439   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   |-> cmpt2 5654  freccfrec 6155   1c1 7349   + caddc 7351   ZZ>=cuz 9017   seqcseq4 9847

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-iseq 9849

This theorem is referenced by:  iseq1  9871  iseqfcl  9874  iseqcl  9877  iseqp1  9878