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Theorem iseqval 9867
Description: Value of the sequence builder function.

There should be no need for new usages of this theorem because once we have proved theorems seqf 9876, seq3-1 9873 and seq3p1 9880 future development can be done in terms of those.

(Contributed by Jim Kingdon, 30-May-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses
Ref Expression
iseqval.1  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
iseqval.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
iseqval.pl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
iseqval  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  S )  =  ran  R )
Distinct variable groups:    w, F, x, y, z    w,  .+ , x, y, z    w, M, x, y, z    w, S, x, y, z    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    R( x, y, z, w)

Proof of Theorem iseqval
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqval.1 . . . 4  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
2 simprl 498 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3 simprr 499 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  y  e.  S )
4 iseqval.pl . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
54caovclg 5797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  .+  b
)  e.  S )
65adantlr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S ) )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S
) )  ->  (
a  .+  b )  e.  S )
7 iseqval.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
87ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  x )  e.  S )
9 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
109eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  y )  e.  S
) )
1110cbvralv 2590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 x )  e.  S  <->  A. y  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  y )  e.  S )
128, 11sylib 120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  y )  e.  S )
1312adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  A. y  e.  ( ZZ>= `  M )
( F `  y
)  e.  S )
14 peano2uz 9069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( x  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
15 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( x  +  1
) ) )
1615eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( F `  y
)  e.  S  <->  ( F `  ( x  +  1 ) )  e.  S
) )
1716rspcv 2718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 y )  e.  S  ->  ( F `  ( x  +  1 ) )  e.  S
) )
1814, 17syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 y )  e.  S  ->  ( F `  ( x  +  1 ) )  e.  S
) )
1918ad2antrl 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  ( A. y  e.  ( ZZ>=
`  M ) ( F `  y )  e.  S  ->  ( F `  ( x  +  1 ) )  e.  S ) )
2013, 19mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  ( F `  ( x  +  1 ) )  e.  S )
216, 3, 20caovcld 5798 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
y  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  e.  S )
22 oveq1 5659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
z  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
2322fveq2d 5309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  ( z  +  1 ) )  =  ( F `  ( x  +  1
) ) )
2423oveq2d 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) )  =  ( w  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) )
25 oveq1 5659 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
w  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  =  ( y  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) )
26 eqid 2088 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  M
) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )  =  ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) )
2724, 25, 26ovmpt2g 5779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S  /\  (
y  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) )  e.  S )  ->  (
x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )  =  ( y  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) )
282, 3, 21, 27syl3anc 1174 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )  =  ( y  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) )
29283impb 1139 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
)  ->  ( x
( z  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y )  =  ( y  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) )
3029opeq2d 3629 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  y  e.  S
)  ->  <. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M
) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y )
>.  =  <. ( x  +  1 ) ,  ( y  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) >. )
3130mpt2eq3dva 5713 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
)  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
) ,  y  e.  S  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( y  .+  ( F `
 ( x  + 
1 ) ) )
>. ) )
32 freceq1 6157 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. )  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( y 
.+  ( F `  ( x  +  1
) ) ) >.
)  -> frec ( (
x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w 
.+  ( F `  ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M )
>. )  = frec (
( x  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( y 
.+  ( F `  ( x  +  1
) ) ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. ) )
3331, 32syl 14 . . . 4  |-  ( ph  -> frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x ( z  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  w  e.  S  |->  ( w  .+  ( F `
 ( z  +  1 ) ) ) ) y ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )  = frec (
( x  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( y 
.+  ( F `  ( x  +  1
) ) ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. ) )
341, 33syl5eq 2132 . . 3  |-  ( ph  ->  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( y  .+  ( F `  ( x  +  1 ) ) ) >. ) ,  <. M ,  ( F `  M ) >. )
)
3534rneqd 4664 . 2  |-  ( ph  ->  ran  R  =  ran frec ( ( x  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( y 
.+  ( F `  ( x  +  1
) ) ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. ) )
36 df-iseq 9849 . 2  |-  seq M
(  .+  ,  F ,  S )  =  ran frec ( ( x  e.  (
ZZ>= `  M ) ,  y  e.  S  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( y 
.+  ( F `  ( x  +  1
) ) ) >.
) ,  <. M , 
( F `  M
) >. )
3735, 36syl6reqr 2139 1  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ,  S )  =  ran  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   <.cop 3449   ran crn 4439   ` cfv 5015  (class class class)co 5652    |-> cmpt2 5654  freccfrec 6155   1c1 7349    + caddc 7351   ZZ>=cuz 9017    seqcseq4 9847
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-iseq 9849
This theorem is referenced by:  iseq1  9871  iseqfcl  9874  iseqcl  9877  iseqp1  9878
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