Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqval Unicode version

Theorem iseqval 9867
 Description: Value of the sequence builder function. There should be no need for new usages of this theorem because once we have proved theorems seqf 9876, seq3-1 9873 and seq3p1 9880 future development can be done in terms of those. (Contributed by Jim Kingdon, 30-May-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqval.1 frec
iseqval.f
iseqval.pl
Assertion
Ref Expression
iseqval
Distinct variable groups:   ,,,,   , ,,,   ,,,,   ,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,,)

Proof of Theorem iseqval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqval.1 . . . 4 frec
2 simprl 498 . . . . . . . . 9
3 simprr 499 . . . . . . . . 9
4 iseqval.pl . . . . . . . . . . . 12
54caovclg 5797 . . . . . . . . . . 11
65adantlr 461 . . . . . . . . . 10
7 iseqval.f . . . . . . . . . . . . . 14
87ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . . 13
9 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . . . . 15
109eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . 14
1110cbvralv 2590 . . . . . . . . . . . . 13
128, 11sylib 120 . . . . . . . . . . . 12
1312adantr 270 . . . . . . . . . . 11
14 peano2uz 9069 . . . . . . . . . . . . 13
15 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . 14
1716rspcv 2718 . . . . . . . . . . . . 13
1814, 17syl 14 . . . . . . . . . . . 12
1918ad2antrl 474 . . . . . . . . . . 11
2013, 19mpd 13 . . . . . . . . . 10
216, 3, 20caovcld 5798 . . . . . . . . 9
22 oveq1 5659 . . . . . . . . . . . 12
2322fveq2d 5309 . . . . . . . . . . 11
2423oveq2d 5668 . . . . . . . . . 10
25 oveq1 5659 . . . . . . . . . 10
26 eqid 2088 . . . . . . . . . 10
2724, 25, 26ovmpt2g 5779 . . . . . . . . 9
282, 3, 21, 27syl3anc 1174 . . . . . . . 8
29283impb 1139 . . . . . . 7
3029opeq2d 3629 . . . . . 6
3130mpt2eq3dva 5713 . . . . 5
32 freceq1 6157 . . . . 5 frec frec
3331, 32syl 14 . . . 4 frec frec
341, 33syl5eq 2132 . . 3 frec
3534rneqd 4664 . 2 frec
36 df-iseq 9849 . 2 frec
3735, 36syl6reqr 2139 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   w3a 924   wceq 1289   wcel 1438  wral 2359  cop 3449   crn 4439  cfv 5015  (class class class)co 5652   cmpt2 5654  freccfrec 6155  c1 7349   caddc 7351  cuz 9017   cseq4 9847 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-iseq 9849 This theorem is referenced by:  iseq1  9871  iseqfcl  9874  iseqcl  9877  iseqp1  9878
 Copyright terms: Public domain W3C validator