Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqvalt Unicode version

Theorem iseqvalt 9838
 Description: Value of the sequence builder function. There should be no need for new usages of this theorem because once we have proved theorems seqf 9845, seq3-1 9842 and seq3p1 9849 future development can be done in terms of those. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqvalt.m
iseqvalt.r frec
iseqvalt.f
iseqvalt.pl
iseqvalt.t
Assertion
Ref Expression
iseqvalt
Distinct variable groups:   , ,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem iseqvalt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqvalt.m . . . . . 6
2 fveq2 5289 . . . . . . . 8
32eleq1d 2156 . . . . . . 7
4 iseqvalt.f . . . . . . . 8
54ralrimiva 2446 . . . . . . 7
6 uzid 9002 . . . . . . . 8
71, 6syl 14 . . . . . . 7
83, 5, 7rspcdva 2727 . . . . . 6
9 iseqvalt.t . . . . . 6
10 iseqvalt.pl . . . . . . 7
114, 10iseqovex 9835 . . . . . 6
12 iseqvalt.r . . . . . 6 frec
131, 8, 9, 11, 12frecuzrdgrclt 9787 . . . . 5
14 ffn 5147 . . . . 5
1513, 14syl 14 . . . 4
16 1st2nd2 5927 . . . . . . . . . . . 12
1716adantl 271 . . . . . . . . . . 11
1817fveq2d 5293 . . . . . . . . . 10
19 df-ov 5637 . . . . . . . . . 10
2018, 19syl6eqr 2138 . . . . . . . . 9
21 xp1st 5918 . . . . . . . . . . 11
2221adantl 271 . . . . . . . . . 10
239adantr 270 . . . . . . . . . . 11
24 xp2nd 5919 . . . . . . . . . . . 12
2524adantl 271 . . . . . . . . . . 11
2623, 25sseldd 3024 . . . . . . . . . 10
27 peano2uz 9040 . . . . . . . . . . . 12
2822, 27syl 14 . . . . . . . . . . 11
2910caovclg 5779 . . . . . . . . . . . . 13
3029adantlr 461 . . . . . . . . . . . 12
31 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . 14
3231eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . 13
335adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13
3432, 33, 28rspcdva 2727 . . . . . . . . . . . 12
3530, 25, 34caovcld 5780 . . . . . . . . . . 11
36 opelxpi 4459 . . . . . . . . . . 11
3728, 35, 36syl2anc 403 . . . . . . . . . 10
38 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . 12
3938fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . . 13
4039oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . 12
4138, 40opeq12d 3625 . . . . . . . . . . 11
42 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . 12
4342opeq2d 3624 . . . . . . . . . . 11
44 eqid 2088 . . . . . . . . . . 11
4541, 43, 44ovmpt2g 5761 . . . . . . . . . 10
4622, 26, 37, 45syl3anc 1174 . . . . . . . . 9
4720, 46eqtrd 2120 . . . . . . . 8
4847, 37eqeltrd 2164 . . . . . . 7
4948ralrimiva 2446 . . . . . 6
50 opelxpi 4459 . . . . . . 7
517, 8, 50syl2anc 403 . . . . . 6
5249, 51jca 300 . . . . 5
53 frecfcl 6152 . . . . 5 frec
54 ffn 5147 . . . . 5 frec frec
5552, 53, 543syl 17 . . . 4 frec
56 fveq2 5289 . . . . . . . 8
57 fveq2 5289 . . . . . . . 8 frec frec
5856, 57eqeq12d 2102 . . . . . . 7 frec frec
5958imbi2d 228 . . . . . 6 frec frec
60 fveq2 5289 . . . . . . . 8
61 fveq2 5289 . . . . . . . 8 frec frec
6260, 61eqeq12d 2102 . . . . . . 7 frec frec
6362imbi2d 228 . . . . . 6 frec frec
64 fveq2 5289 . . . . . . . 8
65 fveq2 5289 . . . . . . . 8 frec frec
6664, 65eqeq12d 2102 . . . . . . 7 frec frec
6766imbi2d 228 . . . . . 6 frec frec
68 fveq2 5289 . . . . . . . 8
69 fveq2 5289 . . . . . . . 8 frec frec
7068, 69eqeq12d 2102 . . . . . . 7 frec frec
7170imbi2d 228 . . . . . 6 frec frec
7212fveq1i 5290 . . . . . . . 8 frec
73 frec0g 6144 . . . . . . . . 9 frec
7451, 73syl 14 . . . . . . . 8 frec
7572, 74syl5eq 2132 . . . . . . 7
76 frec0g 6144 . . . . . . . 8 frec
7751, 76syl 14 . . . . . . 7 frec
7875, 77eqtr4d 2123 . . . . . 6 frec
7913ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . 12 frec
80 simpll 496 . . . . . . . . . . . 12 frec
8179, 80ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . 11 frec
82 xp1st 5918 . . . . . . . . . . 11
8381, 82syl 14 . . . . . . . . . 10 frec
849ad2antlr 473 . . . . . . . . . . 11 frec
85 xp2nd 5919 . . . . . . . . . . . 12
8681, 85syl 14 . . . . . . . . . . 11 frec
8784, 86sseldd 3024 . . . . . . . . . 10 frec
8829adantll 460 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988adantlr 461 . . . . . . . . . . . . . 14 frec
90 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9190eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . 15
92 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9392eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9493cbvralv 2590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
955, 94sylib 120 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9695ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 frec
97 peano2uz 9040 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9883, 97syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 frec
9991, 96, 98rspcdva 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 frec
10089, 86, 99caovcld 5780 . . . . . . . . . . . . 13 frec
101 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . . 16
102101fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . . . . 15
103102oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . . 14
104 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . 14
105 eqid 2088 . . . . . . . . . . . . . 14
106103, 104, 105ovmpt2g 5761 . . . . . . . . . . . . 13
10783, 86, 100, 106syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . 12 frec
108107opeq2d 3624 . . . . . . . . . . 11 frec
109107, 100eqeltrd 2164 . . . . . . . . . . . 12 frec
110 opelxpi 4459 . . . . . . . . . . . 12
11198, 109, 110syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 frec
112108, 111eqeltrrd 2165 . . . . . . . . . 10 frec
113 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . 12
114113fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . . 13
115114oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . 12
116113, 115opeq12d 3625 . . . . . . . . . . 11
117 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . 12
118117opeq2d 3624 . . . . . . . . . . 11
119116, 118, 44ovmpt2g 5761 . . . . . . . . . 10
12083, 87, 112, 119syl3anc 1174 . . . . . . . . 9 frec
12149ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . 12 frec
12251ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . 12 frec
123 frecsuc 6154 . . . . . . . . . . . 12 frec frec
124121, 122, 80, 123syl3anc 1174 . . . . . . . . . . 11 frec frec frec
125 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12 frec frec
126125fveq2d 5293 . . . . . . . . . . 11 frec frec
127124, 126eqtr4d 2123 . . . . . . . . . 10 frec frec
128 1st2nd2 5927 . . . . . . . . . . . . 13
12981, 128syl 14 . . . . . . . . . . . 12 frec
130129fveq2d 5293 . . . . . . . . . . 11 frec
131 df-ov 5637 . . . . . . . . . . 11
132130, 131syl6eqr 2138 . . . . . . . . . 10 frec
133127, 132eqtrd 2120 . . . . . . . . 9 frec frec
13412fveq1i 5290 . . . . . . . . . . . . . . 15 frec
13517fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
136 df-ov 5637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
137135, 136syl6eqr 2138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
138 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
139138fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
140139oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
141 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
142140, 141, 105ovmpt2g 5761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
14322, 25, 35, 142syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
144143, 35eqeltrd 2164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
145 opelxpi 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14628, 144, 145syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
147 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
14838, 147opeq12d 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
149 oveq2 5642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
150149opeq2d 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
151 eqid 2088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
152148, 150, 151ovmpt2g 5761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15322, 26, 146, 152syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
154137, 153eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
155154, 146eqeltrd 2164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
156155ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
157156ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 frec
158 frecsuc 6154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 frec frec
159157, 122, 80, 158syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . . 15 frec frec frec
160134, 159syl5eq 2132 . . . . . . . . . . . . . 14 frec frec
16112fveq1i 5290 . . . . . . . . . . . . . . 15 frec
162161fveq2i 5292 . . . . . . . . . . . . . 14 frec
163160, 162syl6eqr 2138 . . . . . . . . . . . . 13 frec
164129fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . . 13 frec
165163, 164eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . 12 frec
166 df-ov 5637 . . . . . . . . . . . 12
167165, 166syl6eqr 2138 . . . . . . . . . . 11 frec
168 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . 14
169113, 168opeq12d 3625 . . . . . . . . . . . . 13
170 oveq2 5642 . . . . . . . . . . . . . 14
171170opeq2d 3624 . . . . . . . . . . . . 13
172169, 171, 151ovmpt2g 5761 . . . . . . . . . . . 12
17383, 87, 111, 172syl3anc 1174 . . . . . . . . . . 11 frec
174167, 173eqtrd 2120 . . . . . . . . . 10 frec
175174, 108eqtrd 2120 . . . . . . . . 9 frec
176120, 133, 1753eqtr4rd 2131 . . . . . . . 8 frec frec
177176exp31 356 . . . . . . 7 frec frec
178177a2d 26 . . . . . 6 frec frec
17959, 63, 67, 71, 78, 178finds 4405 . . . . 5 frec
180179impcom 123 . . . 4 frec
18115, 55, 180eqfnfvd 5384 . . 3 frec
182181rneqd 4652 . 2 frec
183 df-iseq 9818 . 2 frec
184182, 183syl6reqr 2139 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wceq 1289   wcel 1438  wral 2359   wss 2997  c0 3284  cop 3444   csuc 4183  com 4395   cxp 4426   crn 4429   wfn 4997  wf 4998  cfv 5002  (class class class)co 5634   cmpt2 5636  c1st 5891  c2nd 5892  freccfrec 6137  c1 7330   caddc 7332  cz 8720  cuz 8988   cseq4 9816 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-iseq 9818 This theorem is referenced by:  iseq1t  9841  iseqfclt  9844  iseqp1t  9848
 Copyright terms: Public domain W3C validator