Theorem iser0f 10009

Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. New usages should use ser0f 10011. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
iser0.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
iser0f	|- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) = ( Z X. { 0 } ) )

Proof of Theorem iser0f

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iser0.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	iser0 10008	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) ` k ) = 0 )
3		c0ex 7543	. . . . 5 |- 0 e. _V
4	3	fvconst2 5527	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
5	2, 4	eqtr4d 2124	. . 3 |- ( k e. Z -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) )
6	5	rgen 2429	. 2 |- A. k e. Z ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k )
7		eqid 2089	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
8		id 19	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
9	1	eleq2i 2155	. . . . . . . 8 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
10		0cnd 7542	. . . . . . . . 9 |- ( k e. Z -> 0 e. CC )
11	4, 10	eqeltrd 2165	. . . . . . . 8 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
12	9, 11	sylbir 134	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
13	12	adantl 272	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
14	7, 8, 13	iserf 9964	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) : ( ZZ>= ` M ) --> CC )
15		ffn 5174	. . . . 5 |- ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) : ( ZZ>= ` M ) --> CC -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
16	14, 15	syl 14	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
17	1	fneq2i 5122	. . . 4 |- ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) Fn Z <-> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
18	16, 17	sylibr 133	. . 3 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) Fn Z )
19	3	fconst 5219	. . . 4 |- ( Z X. { 0 } ) : Z --> { 0 }
20		ffn 5174	. . . 4 |- ( ( Z X. { 0 } ) : Z --> { 0 } -> ( Z X. { 0 } ) Fn Z )
21	19, 20	ax-mp 7	. . 3 |- ( Z X. { 0 } ) Fn Z
22		eqfnfv 5411	. . 3 |- ( ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) Fn Z /\ ( Z X. { 0 } ) Fn Z ) -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) = ( Z X. { 0 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) ) )
23	18, 21, 22	sylancl 405	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) = ( Z X. { 0 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) ) )
24	6, 23	mpbiri 167	1 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) , CC ) = ( Z X. { 0 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1290   e. wcel 1439   A.wral 2360   {csn 3450   X. cxp 4450   Fn wfn 5023   -->wf 5024   ` cfv 5028   CCcc 7409   0cc0 7411   + caddc 7414   ZZcz 8811   ZZ>=cuz 9080   seqcseq4 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-fz 9486  df-fzo 9615  df-iseq 9914

This theorem is referenced by:  iserclim0  10755